二次函数中的面积问题是一类比较重要的实际应用问题,主要有几何最值问题和铅锤法的使用 。利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤:(1)引入自变量,设未知数;(2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量;(3)由几何图形的特征,列出其面积
二次函数中的面积问题是一类比较重要的实际应用问题,主要有几何最值问题和铅锤法的使用 。
利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤:
(1)引入自变量,设未知数;
(2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量;
(3)由几何图形的特征,列出其面积的计算公式,并用函数表示这个面积;
(4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值 。
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01篱笆问题
篱笆问题是二次函数面积最值问题中最常见的一类问题,在求解的过程中需要抓住篱笆的总长不变,如果在墙上开门还需要加上门的长度,求出答案后记得检验,一般长不能超过原来墙的长度 。
例题1;如图,用一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?
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我们可以怎么设未知数?这个矩形的长和宽未知,我们可以设矩形的长或宽为x,我们一般可设垂直于墙的一边为x,篱笆的总长为36,那么平行于墙面的长度为36-2x 。
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已知矩形的长和宽,我们可以求出该矩形的面积,那么如何求最值呢?
S=x(36-2x)=-2x^2+36x=-2(x-9)^2+162
可以通过配方法对二次函数解析式进行处理,或者通过公式法求出二次函数的对称轴,然后再求出函数的最值 。通过配方可以发现,二次函数是开口向下的,在x=9时取到最大值,最大值为162 。
那么,到底能不能在x=9时取到最大值呢?自变量x的取值范围又该怎么求呢?我们可以借助原来墙的长度,现在的墙长不能超过18,因此0<36-2x≤18,那么9≤x<18,说明可以取到9 。
实际问题中求解二次函数最值问题,不一定都取图象顶点处,要根据自变量的取值范围,理解函数图象的顶点、端点与最值的关系,以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值 。
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02铅锤法
在求解不规则图形面积时,一般选择割补法,“补”即将不规则图形补成大的规则图形再减去旁边多余的部分面积;“割”即将不规则图形进行分割,分割成易求面积的几个部分,再将几个部分的面积相加 。铅锤法其实也利用了割补法:
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一般解题步骤:
①列出三点坐标;
②选择适当的其中一点作铅锤高交对边于一点D;
③根据对边所在直线解析式,表示出点D的坐标;
【二次函数铅锤法求面积 铅锤法求二次函数中三角形的面积】④根据公式(S=1/2铅锤高×水平宽)代入进行求解 。
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