【三角尺的内角是多少度 三角形的内角和是多少度】三角形内角之和是多少(三角尺内角是多少)
如果有人问你:“三角形内角之和是多少？”你肯定会不假思索地告诉他:“180！”
如果那个人说不是180 ， 那你可能认为他无知 。
其实“三角形内角之和等于180”只是欧几里得几何中的一个定理 。也就是说 ， 在欧氏几何中 ， 三角形内角之和等于180° ， 但如果跳出欧氏几何的范围 ， 三角形内角之和不一定等于180°！
以栗子为例 。地球赤道、0度经线和90度经线相交形成“三角形” 。这个“三角形”的三个角应该是90° ， 它们的和是270°！
你觉得奇怪吗？除了欧几里得几何 ， 你还知道其他几何吗？这些几何被称为非欧几里得几何 。
欧洲几何
想要探索非欧洲几何 ， 首先要了解欧洲几何 。欧几里得几何是指根据古希腊数学家欧几里得构造的几何 。有时仅指平面上的几何 ， 即平面几何 。数学老师上课教的是欧洲几何 。它有以下简单的公理:
1.任何两点都可以用直线连接 。
2.任何线段都可以无限延伸成直线 。
3.给定任意线段 ， 它的一个端点可以作为圆心 ， 线段可以作为半径做圆 。
4.所有直角都是全等的 。
5.如果两条直线与第三条直线相交 ， 并且同一侧的内角之和小于两个直角之和 ， 则两条直线必须在此侧相交 。
这五个“显而易见”的公理是平面几何的基石 ， 我们也是依靠这些公理来解决几何问题的 。但是机智的你有没有发现 ， 第五公设(平行公设)和前面四公设相比 ， 啰嗦又不那么明显 ， 有违数学的简洁性和美观性？
在《几何元素》中 ， 证明了前28个命题没有使用这个公设 ， 这自然引起人们考虑这个啰嗦的公设是否可以从其他公理和公设中推导出来 ， 也就是说平行公设可能是多余的 。
罗氏几何的诞生
所以有数学家问 ， 第五公设是否可以作为定理而不是公设 。我们能依靠前四个公设来证明第五个公设吗？这是几何发展史上最著名的一次 ， 关于“平行线理论”争论了2000多年 。
由于第五公设的证明问题一直没有解决 ， 人们逐渐怀疑证明方式是错误的 。第五公设能被证明吗？
18世纪 ， 俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中走了另一条路 。罗巴切夫斯基的父亲“老罗”毕生致力于研究第五公设的证明 ， 但一无所获 。老罗曾告诫儿子“罗晓”:“不要搞第五公理 。我一生都在研究它 ， 还没有研究出来 。这简直是数学家的噩梦 。”
然而 ， 小罗没有听从父亲的建议 。他提出了一个与欧几里得平行公理相矛盾的命题“如果稍微超出直线一点 ， 至少有两条直线不能与已知直线相交” ， 并用它来代替第五公设 ， 再与欧几里得几何的前四公设结合 ， 形成公理体系 ， 展开一系列推理 。他认为 ， 如果这种基于系统的推理存在矛盾 ， 就相当于证明了第五公设 。我们知道这其实是数学中的反证法 。
罗氏几何协调双曲面模型
然而 ， 在他极其细致深入的推理过程中 ， 他提出了一个又一个直觉上奇怪但逻辑上不可调和的命题 。最后 ， 罗巴切夫斯基得出了两个重要结论:
第一个和第五个公设无法证明 。
其次 ， 通过新公理系统中的一系列推理 ， 得到了一系列没有逻辑矛盾的新定理 ， 形成了新的理论体系 。这个理论体系和欧几里得几何一样完整和严谨 。
左:欧洲几何右:罗氏几何
这种几何被称为罗巴切夫斯基几何 ， 简称洛巴切夫斯基几何 ， 也是我们发现的最早的非欧洲几何 。
罗氏几何公理体系与欧几里得几何的区别在于 ， 欧几里得几何的平行公理“稍微超出一条直线 ， 一条直线可以且只能平行于一条已知直线”被“稍微在一条直线之外 ， 至少有两条直线可以平行于这条直线”所取代 ， 其他公理基本相同 。由于平行公理的不同 ， 通过演绎推理产生了一系列不同于欧氏几何内容的新命题 。
机智 ， 你可能已经发现以上命题与我们的直觉相矛盾 。然而 ， 经过思考 ， 数学家提出 ， 我们可以做一个直观的“模型”来证明它的正确性 。
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