流浪汉|傅里叶变换，有史以来最伟大的数学发现之一，理解其背后的直觉流浪汉

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傅里叶变换和傅里叶级数是有史以来最伟大的数学发现之一。它们帮助我们将函数分解成其基本成分。它们揭示了任何数学函数的基本模块，并让我们能够使用这些模块，以便更好地理解和运算它们。但是，傅里叶级数和傅里叶变换背后的想法究竟是什么，这些 \"基本成分 \"又是什么？
基本思想傅里叶级数和傅里叶变换背后的直觉是相同的。

任何函数都可以写成正弦函数之和。

这个想法很简单，但却非常深刻。
我们在高中时都学过什么是余弦和正弦。它们将直角三角形的一个角度与两个边长的比值联系起来。另一种理解方式是，余弦和正弦分别是围绕单位圆运动的一个点的x和y坐标。它们是人们能想到的最简单的周期函数之一。

正弦和余弦函数的图形

余弦和正弦作为绕单位圆运动的点的坐标

由这两个函数组成的和，可以表示任何数学函数，这一事实让人惊讶。
但是，傅里叶级数和傅里叶变换之间有什么区别呢？

傅里叶级数和傅里叶变换的区别在于，前者用于将周期性函数分解为正弦和余弦之和，而后者则用于非周期性函数。

现在让我们来看看这两者是如何运作的。
傅里叶级数正如我们所说，傅里叶级数用于周期性函数。回顾一下，如果以下等式成立，一个函数f(t)被称为是周期性的，其最小周期为T 。
简单地说，这意味着该函数以长度为T的时间间隔重复其数值。

周期性函数的例子

最后，我们将该周期函数的基本频率定义为1/T ，即周期的倒数。如果说周期告诉我们函数重复的频率，那么频率则告诉我们每单位时间有多少次重复。
现在我们有了定义傅里叶级数所需要的一切。

傅里叶级数是正弦函数的无限加权和，每个正弦函数的频率都是原始周期函数的基频(1/T)的整数倍。

傅里叶级数的公式如下：

周期性函数g(t)的傅里叶级数展开

这看起来有点复杂，让我们把它分解一下。
分解我们从基本周期为T的周期函数g(t)开始，然后将其表示为两个无限和。一个是余弦之和，另一个是正弦之和。这两个和都是加权的，这意味着它们所包含的每个余弦和正弦都有一个系数。在我们的例子中，这些系数分别用符号α_m和b_n表示。下标字母m和n是和的计数变量。因此，例如，当m变成1、2、3等时，每个余弦的系数从α_1变成α_2 ， α_3以此类推。
还有自变量t ，它也是初始函数g(t)的自变量；常数2π ，它的存在与对称性有关；以及分母中的周期T 。你可能已经注意到，我们可以用频率f代替上式中的1/T比率，以避免使用分数。