流浪汉|傅里叶变换，有史以来最伟大的数学发现之一，理解其背后的直觉( 二 ) 流浪汉

我们在三角函数中遇到的最后一个符号是每个和的计数变量， m代表余弦， n代表正弦。它的存在所达到的目的是，在无限的和中，每个余弦和正弦将有不同的频率。然而，这些都不是任意的频率。它们是初始函数g(t)的频率的整数倍。
计算系数α_m和b_n的公式在下面给出。我们不会多谈它们，因为它们对我们的理解没有帮助。
你现在知道如何将任何周期性函数扩展为余弦和正弦之和。
傅里叶级数的替代形式在我们进入傅里叶变换之前，我想向你介绍一种替代的，也是等价的傅里叶数列的表示方法。这就是下面的内容。

傅里叶级数的指数形式

虽然它看起来与我们上面讨论的三角函数形式大不相同，但实际上是等价的。我们所做的只是利用欧拉公式（该公式将余弦和正弦与复指数联系起来），以更简洁的形式重写傅里叶级数。现在，我们不再有两个和，而只有一个。

【流浪汉|傅里叶变换，有史以来最伟大的数学发现之一，理解其背后的直觉】欧拉公式

傅里叶变换如果你已经理解了我们所说的关于傅里叶级数的一切，那么傅里叶变换就会非常简单了。这一次，我们关注的是非周期性函数。傅里叶变换的公式如下。

傅里叶变换

傅里叶变换的重要性
傅里叶变换的结果是一个频率的函数。希腊字母omega ， \"ω\" ，是用来表示角频率的，它是乘积2πf的名字。当初始函数f(t)是一个时间函数时，傅里叶变换给了我们该函数的频率内容。

一个时间函数的傅里叶变换是一个频率的复值函数，其大小（绝对值）代表了原始函数中存在的该频率的数量，其参数是该频率的基本正弦波的相位偏移。傅里叶变换不限于时间函数，但原始函数的域通常被称为时域。

我们可以用逆傅里叶变换把初始函数找回来。

傅里叶和逆傅里叶变换

详解让我们比较一下傅里叶逆变换和傅里叶级数。
首先，我们没有使用余弦和正弦（这将产生两个积分），而是使用一个复指数，以更简洁的方式表示正弦函数。在积分前出现的系数1/2π是为了对称。
我们立即注意到的另一件重要事情是，我们现在有了一个积分，而不是一个离散的 \"西格玛 \"和。请记住，积分本身就是和，唯一的区别是在积分下被求的量是连续的，而不是离散的。由于初始函数f(t)是非周期性的，我们需要所有可能的频率，从负无穷大到正无穷大来表示它。在傅里叶级数的情况下，我们只使用T的整数倍。由于我们现在没有一个基本周期T ，我们被迫使用所有的周期。
对于复指数的系数，我们得到了在每一个可能的频率ω下函数的傅里叶变换的值。正如你所看到的，从傅里叶级数的概念到逆傅里叶变换的概念，有一个明显的一一对应关系。
结束语正如泰勒级数将一个函数分解为无限的单项式加权和一样，傅里叶级数和傅里叶变换帮助我们将一个周期性函数表示为正弦信号的加权和。正弦信号在数学意义上很容易被运算。如果我们知道一个系统，比如可能是一个有弹簧的经典系统，是如何对正弦波输入作出反应的，那么我们就可以用上述的想法将任何其他输入表示为正弦波之和。因此，很大一部分分析已经完成，数学运算也变得容易多了。由于这个原因，傅里叶级数以及傅里叶变换在所有科学领域都有大量的应用，如电子工程、物理和生物。