数学|从一个“简单”的数学难题中窥视数学的本质，数学没有尽头

2021-10-09

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对于这样的问题，数学还不够成熟

以上是数学家保罗-埃尔德什（Paul Erdos）对我们将要讨论的问题的评价。在我讨论完这个问题后，你可能会觉得，原来这么简单的问题也可以这么复杂。我们开始吧！
猜测一个正整数x ，带入下面的分段函数进行运算。
如果是偶数，就除以2；如果是奇数，就乘以3再加1 ，这样就又成了偶数，然后再除以2了。
假设你想到的数字是21 。 21是一个奇数。所以，（3×21+1）=64 。 64是一个偶数，用它除以2 ，得到32 。同样， 32也是偶数，进一步得到16 。又是一个偶数，再进一步得到16/2=8 。最终得到的是1 。
现在， 1是一个奇数。所以用它乘以3 ，再加上1 ，得到（3×1+1）=4 。由于4是偶数，我们得到4→2→1 。
现在，问题“陷入”了一个4→2→1的循环。
再想一个数字，比如7 。 7变成22 ，再变成11 。然后就像下面这样继续下去：

7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1

以7开头也是如此，最终进入了4→2→1的循环中。
这被称为 \"科拉茨猜想\"（ Collatz Conjecture）。科学家们已经检验了“无数”个数字，准确地说，检验了2^68个数字，都遵循这个猜想。

这个猜想是以洛塔尔-科拉茨（ Lothar Collatz）命名的。他在1937年提出这个猜想。它还有很多名字，如3n+1问题、3n+1猜想、乌兰猜想（以斯坦尼斯瓦夫-乌兰命名）、角谷问题（以角谷静夫命名）、斯韦茨猜想（以布莱恩-斯韦茨爵士命名）、哈斯算法（以赫尔穆特-哈斯命名）以及锡拉丘兹问题。

【数学|从一个“简单”的数学难题中窥视数学的本质，数学没有尽头】第一眼看这个猜想，可能会觉得它是一个“结论” ，但到目前为止还没能证明，也没有找到反例。我估计任何一个人都会觉得“应该很简单” ，而产生去证明的冲动！我的建议是不要去尝试，那是一个深渊，会让你深陷其中而一无所获。

科拉茨图

数学家们研究表明，几乎所有的科拉茨数列最终都会变成一个比开始数字更小的数字。陶哲轩用偏微分方程证明， 99%的数字最终将变成一个相当接近于1的数值。陶哲轩可能现在最伟大的数学家（之一），他也只差一点就能证明这个猜想。

你可以尽可能地接近科拉茨猜想，但它仍然遥不可及——陶哲轩

用3x+1得到的数字被称为冰雹数字，为什么？因为如果你用图形绘制它，它们就像雷云中的冰雹一样上下起伏。但每个数字的图形都是相当不可预测的。
例如， 26只需要10步就能达到1 。达到1之前的最大数字也只是40 。它是这样的：

26 → 13 → 40→ 20 → 10 → 5 → 16 → 8 →4 → 2 → 1

但是如果我们以数字27为例，需要111步才能达到1 。而达到1之前的最大数字是9232 。这个序列是这样的。

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