数学|从一个“简单”的数学难题中窥视数学的本质，数学没有尽头( 二 ) 数学

27 → 82 → 41 → 124 → 62 → 31 → 94 → 47 → 142 → 71 → 214 → 107 → 322 → 161 → 484 → 242 → 121 → 364 → 182 → 91 → 274 → 137 → 412 → 206 → 103 → 310 → 155 → 466 → 233 → 700 → 350 → 175 → 526 → 263 → 790 → 395 → 1186 → 593 → 1780 → 890 → 445 → 1336 → 668 → 334 → 167 → 502 → 251 → 754 → 377 → 1132 → 566 → 283 → 850 → 425 → 1276 → 638 → 319 → 958 → 479 → 1438 → 719 → 2158 → 1079 → 3238 → 1619 → 4858 → 2429 → 7288 → 3644 → 1822 → 911 → 2734 → 1367 → 4102 → 2051 → 6154 → 3077 → 9232 → 4616 → 2308 → 1154 → 577 → 1732 → 866 → 433 → 1300 → 650 → 325 → 976 → 488 → 244 → 122 → 61 → 184 → 92 → 46 → 23 → 70 → 35 → 106 → 53 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 →4 → 2 → 1
同样， 28、29和30只需要18步就能达到1 。但是31需要106步才能达到1 。数学家们能找到的唯一规律就是没有规律。

数字50000的科拉茨数列中每一步的图形表示。

这是一个数字（我们取了50000）达到1的每一步的图。如果取对数，并去除线性趋势，得到的只是一个几何学上的布朗运动。所有的波动都是随机的。
根据统计，从1开始的10亿的数字中有29.94%的数字以1开头（最高位为1），有17.47%的数字以数字2开头，有12.09%的数字以数字3开始，大概60%的数字以1 ， 2 ， 3数字开头。对于更大的数字，如4、5、6......百分比就会下降。这种分布被称为本福德定律（Benford’s law）。本福德定律甚至被用来检测银行的税务欺诈和交易欺诈。
回顾上面的那张科拉茨图，如果每一个数字都遵循这个猜想，那么每一个数字都是无限扩展的树的一个分支。下面我们用这棵树做一些很酷的事情。
如果根据数列中的数字是奇数还是偶数，对路径上的每个点进行旋转，再加上一些漂亮的颜色，将得到一个类似珊瑚的结构。

科拉茨树以艺术方式的视觉表现。

在上图中，我以艺术的方式表示了从1到50000的数字，得到了一个看起来很有机的结构。
你可能会认为，既然我们已经检验了2^68个数字，并且所有这些数字都遵循了这个猜想，那么它肯定是真的。但这不能被当作数学中的证明。

波利亚猜想（Polya Conjecture）由匈牙利数学家乔治-波利亚在1919年提出，在1958年被C-布莱恩-哈塞尔格罗夫（ C. Brian Haselgrove）证明为假。反例的数值是1.854×10^361 。

这让我们想到，虽然大多数数学家都在努力证明这个科拉茨猜想，但也许它不能被证明。就像波利亚猜想一样，可能有一个大得离谱的数字也不遵循科拉茨猜想。
我们可以尝试在猜想中寻找一些更多的模式。下面的图展示了前50000个数字以及每个数字达到1所需的步骤。

前50000个数字和每个数字达到1所需的步骤。

它看起来像是两股从0出发，在100-150之间的某个地方汇合的“流” 。我们还可以看到一些奇怪的直线水平线。还记得28、29和30都是用18步达到1的吗？所以这三个数字在图中形成了一条直线。从图中，我们可以看到有多个这样的数字组合，它们用完全相同的步数达到1 。
让我们把前50000个数字和函数log?(x)一起绘制出来。现在，对于任何2的幂， log?(x)是达到1所需的步数。更简单地说，数字2^n在n步内达到1 。
我们看到log?(x)作为函数的下限的作用。
回到猜想的证明上，有两种可能性。一种是有人证明了猜想的真假。或者是猜想是一个不可判定的问题。