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数学|从数学、逻辑到审美，算法的极限是何处？——《再．创世》专题( 二 )


回到前面那句”数学是唯一一个真与美是同义词的世界” 。 追求美是人之天性 ， 但很多情境下 ， 美或者美化这些词 ， 常常带了一点隐藏真实的意味 。 像是修图软件、美颜相机、化妆（与素颜对比）、医美、Autotune 。 当然明显太假也不符合多数人的审美观 ， 真正美之极致 ， 往往也需要展现事物的本质与真实特色 。 但现实是资源有限 ， 平庸普通还是多数 ， 不然 ， 也不会有”这里的风景美得像幅画”一样的形容词方式了 。 一般日常中 ， 美的实际执行过程还是得靠挑选和遮掩 。 「真」与「美」是需要取舍的 。 这也就是这句话耐人寻味的地方了 ， 因为这句话如果成立 ， 那在数学 ， 也许就提供了现实世界中「真」与「美」之间内在冲突的解法了 。
但问题是 ， 数学家们感受到的美感是否真的是美？定理与证明真的可以用美或不美来形容呢？还是只是数学家们普遍缺乏人文熏陶产生的代偿性错觉呢？
2019年时 ， 英国巴斯大学管理学院的Samuel G.B. Johnson及美国耶鲁大学数学系的StefanSteinerberger发布了一篇论文“Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas” ， 其中的研究证据 ， 支持一般人可能也跟数学家一样 ， 能感受到数学论证的美感 。 在其研究中发现 ， 人们对数学的「美感」 ， 就跟对古典钢琴乐曲及风景画产生的美感相似 ， 有其内在的一致性 。 另外也发现这种数学美感的评判 ， 跟与音乐、画作美感一样 ， 和优雅性、深度、清楚性有关 。
就像十九世纪英国数学家James Joseph Sylvester说的：「数学就是论证的音乐」 。 爱因斯坦也说：「纯数学是一首以其自有方式将逻辑概念写成的诗」 。 这句话出自他写给EmmyNoether的讣闻 。 Noether是有名的德国数学家 ， 对抽象代数有极大的贡献 ， 巧妙的利用升链条件来研究代数性质 ， 此后符合这个条件的数学对象我们都会冠以Noetherian来称呼 ， 以纪念Noether的贡献 。 此外 ， 她的NoetherTheorem也被称之为影响物理学最重要的定理之一 。
Noether与兄弟们的合照 。
除了主观上对于美的感受外 ， 数学与艺术之间 ， 也有很多直接的关联性 。 以音乐来说 ， 音律就与数学上的对数（也就是大家所认识的log）有关 。 人类发展音律有很长的历史 ， 因为这不是一个简单的问题 。 我们现在知道 ， 和弦时 ， 不同音阶的频率要接近简单的有理数倍声音才会悦耳 。 传说毕达哥拉斯经过一家铁店 ， 听到铁锤打铁的声音 ， 觉得很悦耳 ， 他走入店里 ， 发现四个铁锤的重量比为12:9:8:6 ， 其中9是6与12的算术平均 ， 8是6与12的调和平均 9 8与6 12的几何平均相等这些巧妙的关系 。 这些铁锤之间的声音配合起来非常悦耳 。 他进一步用弦乐器实验验证 ， 得到的结论是 ， 弦长为一些简单有理数比的时候 ， 会得到和谐的声音 。 而后来更进一步改进而成的十二平均律 ， 也反映出中国及欧洲在计算12??√12的历史进展 。 这背后还有更深刻的问题 ， 因为很容易可以发现 ， 12??√12并不是个有理数 。 对音乐或数学有兴趣的朋友 ， 可以继续深入了解一下背后的学问 。
另一个大家也观察到的现象是 ， 数学能力和艺术能力之间似乎有一些相关性 ， 特别是音乐能力 。 常被拿来说的是爱因斯坦喜爱音乐且从小学习小提琴 。 可能你认识的人中 ， 应该也有许多同时精通数理及音乐的人 。 过去一些研究也发现发现了数理能力及音乐能力中的相关性 。 但是 ， 这个相关性会不会与能力本身无关呢？比方显而易见 ， 学科能力与学习音乐的条件 ， 都与家庭背景与社经地位有关 。

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