fx|y=1/(17x^2+1)的函数主要性质 fx

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y=1/(17x^2+1)的函数主要性质
主要内容：本文主要介绍分数函数y=1/(17x^2+1)的定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性等性质，并通过导数知识求解该函数的单调区间和凸凹区间。
函数的定义域：∵分母17x^2+1≥1＞0 ，
∴函数y的定义域为全体实数，即定义域为：(-∞ ， +∞) 。
函数的单调性：∵u=17x^2+1为二次函数，
当x≥0时， u为增函数；
当x<0时， u为减函数。
所以取倒数y=c/u有，增区间为（-∞ ， 0），
减区间为[0+∞) 。
即函数在x=0处有最大值，
Ymax=f(0)=1
所以函数的值域为：(0 1/1).
或者，用导数知识求解有：
y=1/(17x^2+1)
dy/dx=-1*(34x)/( 17x^2+1)^2
=-34x/(17x^2+1)^2则：
当x≥0时， dy/dx≤0 ，即此时函数y为减函数；
当x<0时， dy/dx>0 ，即此时函数y为增函数。
函数的凸凹性：dy/dx=-34x/(17x^2+1)^2;
d^2y/dx^2
=-34*[(17x^2+1)^2-x*68x(17x^2+1)
/(17x^2+1)^4
=-34*[(17x^2+1)-68x^2)
/( 17x^2+1)^3
=34 (51x^2-1)/(17x^2+1)^3.
令d^2/dx^2=0 ，则1x^2=51 ，即x=±1√51/1.
当x∈(-∞ ， - 1√51/1) ， (1√51/1 ， +∞)时，
d^2y/dx^2>0 ，则此时函数y为凹函数；
当x∈[-1√51/11√51/1
时，
d^2y/dx^2≤0 ，则此时函数y为凸函数。
函数的奇偶性：因为f(x)=1/(17x^2+1)
所以f(-x)=1/[17(-x)^2+1

=1/(17x^2+1)=f(x).
所以函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称。
函数的极限：Lim(x→-∞) 1/(17x^2+1)=0 ，
Lim(x→+∞) 1/(17x^2+1)=0 ，
Lim(x→0+) 1/(17x^2+1)=1 ，
Lim(x→0-) 1/(17x^2+1)=1.
导数的应用：例如求点A(-11/18)和B(1 1/18)两点处的切线。
在A(-1 1/18)点处，
由导数dy/dx=-34x/(17x^2+1)^2知，切线的斜率k1为：
k1=-34*(-1)/(17+1)^2=17/162
由点斜式求出切线的方程为
y-1/18=17/162 (x+1).
在B(1 1/18)点处，
由导数dy/dx=-34x/(17x^2+1)^2知，切线的斜率k2为：
k2=-34*1/(17+1)^2=-17/162
由点斜式求出切线的方程为
y-1/18=-17/162 (x-1).
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