教师|黎曼假设的实分析视角，非数学专业也能理解这个最著名的数学难题中等职业学校

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它被称为 \"数学的圣杯\" ，毫无疑问，它是数学中最难、最著名的问题之一。在这篇文章中，我将首先给出一个经典的问题描述。稍后我将在不使用复数和解析延拓理论的情况下陈述这个问题，希望能让更多人了解这个美丽的问题。
没有理由把这颗数学明珠的美丽隐藏起来，只留给有具有专业数学知识的人。
经典问题陈述?黎曼假设是关于黎曼Zeta函数的，所以首先需要了解zeta函数。
黎曼Zeta函数被定义为以下复数全纯函数（complex holomorphic function）
请注意，这个Zeta函数的定义只对实部大于1的复数有效，这是为了确保数列的收敛性。
然而，通常当我们谈论黎曼Zeta函数时，我们指的是解析延拓黎曼Zeta函数，它的域是所有的复数，除了1（这是一个简单极点）。
因此，我们可以把上述定义看作是给出了限定在半平面Re(s) > 1的黎曼ζ函数的表达式。
欧拉（Leonhard Euler）表明，这个函数在素数上有一个无限的乘积展开式：

这里用?表示素数的集合。

这种关系贯穿了整个理论，并将zeta函数的解析性质与素数的分布联系起来（在这种情况下被视为自然数的有序子集）。
这使得黎曼zeta函数理论就像数论和复分析之间的交集。
【教师|黎曼假设的实分析视角，非数学专业也能理解这个最著名的数学难题】例如，素数定理的最容易、最简单、在我看来也是最优雅（已知）的证明，它指出素数的数量大致以x/ln(x)的形式增长，使用的是zeta函数。
事实上，可以证明素数定理（或多或少）等同于zeta函数在Re(s)=1上没有零的事实。尽管它在上述直线上没有任何零点，但解析延拓的ζ函数有无穷多个零点，就是方程zeta(s) = 0的解。这些零点很重要，因为它们告诉我们素数是如何分布的。
因此，我们非常想知道这些零点在复平面的位置。从某种意义上说，这将给我们提供关于素数增长的最佳约束。
我们知道，零点分为两类。一类被称平凡零点（ the trivial zeros）。这些都是负的偶数。也就是：
另一类零点被称为非平凡零点（the non-trivial zeros）。所有非平凡零点必须有一个介于0和1之间的实数部分，这一点已经被证明。事实上，一旦我们知道Re(s)=1和Re(s)=0这两条线上没有零点，就很容易证明。
我们有欧拉积，表明在半平面Re(s)>1上没有零点，而且有一个函数方程：