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教师|黎曼假设的实分析视角，非数学专业也能理解这个最著名的数学难题( 二 )


这就得到了sin项在负偶数处的平凡零点 。 这个函数方程是由波恩哈德·黎曼在1859年的一篇简短但具有突破性的论文中证明的 。
在同一篇论文中 ， 黎曼本人实际计算了前几个非平凡零点 ， 并注意到所有这些零点都位于一条直线上 ， 即垂直线Re(s)=1/2 。
这就引出了著名的假说：
黎曼假说这个问题自1859年以来一直困扰着数学家 。 没有人知道如何证明（或证伪）这个说法 。
黎曼假设有许多等价的表述 。 其中大多数涉及复分析或对素数理论及其复杂见解 ， 而我们离回答这些问题还有很长时间 ， 如素数的精确分布 。
我的观点是 ， 通过仅用实数分析 ， 而没有数论或全纯函数来做等价 ， 可能会让更多的人对这个探索感兴趣 。
这种方法的起点将是考虑一个相关的函数 ， 然后将其分成实数和复数部分 。 最后 ， 我们将进行一些运算 ， 创造一个与黎曼假设等价的问题 。
狄利克雷Eta函数（The Dirichlet Eta Function）
正如我在上面简要地提到的 ， Zeta函数的级数定义将只给出在半平面Re(s)>1的收敛性 ， 这对于研究零点是非常无用的 ， 因为感兴趣的零点位于临界带0<Re(s)<1 。
幸运的是 ， 有一个非常有趣的相关函数叫作狄利克雷函数 。 它的定义如下：
级数这其实并不明显 。 这种形式的级数被称为狄利克雷级数 ， 它们都有一个所谓的收敛余数alpha 。
对于一个特定的狄利克雷级数 ， 收敛alpha的横坐标是一个实数 ， 它标志着收敛半平面和发散半平面之间的极限 。 形式上 ， 如果Re(s) > alpha ， 则级数收敛 。
非正式地 ， 由于eta函数的级数对于任何实数s>0都是收敛的 ， 而对于实数s≤0则是发散的 ， 所以收敛的横坐标必须是0 。
此外 ， 我们可以检查一下 ， eta函数和zeta函数满足以下函数方程：
这很有意思 ， 因为我们从这个方程中立即看到了关于eta函数的零点的一些事实 。
首先 ， eta具有zeta所具有的所有零点 。 此外 ， η在Re(s)=1的直线上有无限多的零点 ， 这来自于上面的第一个因素 。
有趣的是 ， 我们知道zeta函数的所有非平凡零点所在的关键地带 ， eta函数也有完全相同的零点 。
换句话说 ， 对于eta函数也有一个黎曼假设 。 这说明所有eta的非平凡零点（指临界带内的零点）都有实部1/2 。
这等同于一般的黎曼假设 ， 但eta函数的级数定义在临界带内是有效的 。 而Zeta的数列定义则不然 。
让我们把eta函数分成它的实部和虚部 。
由于s是一个复数 ， 我们首先需要理解所谓的实数的复数的幂是什么意思 。
我们需要欧拉恒等式（Euler’s identity）！
通过这个美丽的等式 ， 我们得出结论 ， 指数函数是周期性的 ， 具有虚数周期 。
让我们用这个来拆分eta函数 。 首先注意 ， 如果我们写s = σ + it ， 那么：
因此 ， 我们可以通过以下方式写出狄利克雷 eta函数：
我并不完全清楚为什么我们可以把级数分解成实部和虚部的级数然后假设它是收敛的 。 我鼓励读者思考这个问题 。
现在我们来定义两个函数：
其中σ>0 ， σ ， t∈?为实数 。
我们可以到此为止 ， 并说明黎曼假设等同于这样的陈述：如果α和β都消失（vanishes） ， 并且0 < σ < 1 ， 那么σ = 1/2 。
然而 ， 我们必须排除σ=1这条线上的零点 ， 因此 ， 必须对函数进行限制 ， 这一点略显烦人 。
让我们再做一个迂回 ， 用一个所谓的sigmoid函数的对数函数代替Sigma 。
定义f ， g：?2 → ?如下：
请注意 ， n的指数作为r的函数时 ， 是对数函数：

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