正态分布由两个参数μ和σ确定 ， 对任意一个服从N(μ,σ2)分布的随机变量X ， 经式1变换(随机变量的标准化变换)都可以转换为μ=0和σ=1的标准正态分布
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公式1
当μ和σ未知时 ， 可以利用样本均数x-和标准差s对数据进行标准化为式2 ， 即:
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公式2
实际应用中 ， 经z变换可把求解任意一个正态分布曲线下面积的问题 ， 转化成标准正态分布曲线下相应的面积问题 。 附表给出了标准正态分布曲线下z值左侧尾部面积 ， 利用标准正态分布可求出原始变量X在任意区间的概率值 。
由于标准正态分布曲线以0为中心左右两侧完全对称 ， 故表中只列出了z值的负数部分 ， 当z>0时可以使用:
Φ(z)=1－Φ(-z)
z在区间(z1,z2)的概率计算公式为:
P(z1＜z＜z2)=Φ(z2)－Φ(z1)
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标准正态分布曲线下面积示意图
例题1若X~N(μ,σ2),试计算X取值在区间μ±1.96σ上的概率 。 先做标准化变化 ， 求X所对应的z值 ， 根据公式1计算
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通过查附表1 ， 由两式可得
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即X的取值在区间μ±1.96σ上的概率为95％ 。
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附表1
例题2已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似服从正态分布,Xˉ=4.78×1012/L, S=0.38×1012/L,试估计:①该地正常成年男子红细胞计数在4.0×1012/ L以下者占该地正常成年男子总数的百分比 。 ②红细胞计数在4.0×1012/L~5.5×1012/L者占该地正常成年男子总数的百分比 。
估计红细胞计数在某个范围内的人数占总人数的比例,可以转化为求此区间内正态分布曲线下面积问题 。
(1)将X=4.0代入公式2得
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于是问题转化成了求标准正态分布z值小于-2.05的概率 ， 查附表1得Ф(-2.05) =0.0202,表明该地成年男子红细胞计数低于4×1012/L者约占该地正常成年男子总数的2.02％ 。
(2)分别计算X1=4.0和X2=5.5所对应的z值
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【正态分布的格式及例题 正态分布中的σ指的是什么】表明红细胞计数在4.0×1012~5.5×1012/L者约占该地正常成年男子总数的95.04％ 。
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