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逻辑的极限与数学的困境 数学悖论

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数学悖论(逻辑的极限和数学的困境)
为什么自亚里士多德以来的25个世纪里，直觉没有受到逻辑那样的重视？直觉难以捉摸，难以定义和量化，有时还具有欺骗性 。事实上，直觉甚至有不同的种类 。亚里士多德认为直觉是照亮黑暗的灯塔 。但是，在黑暗中的大部分时间，它也像探照灯一样指向错误的方向 。另一方面，逻辑可以被严格证明，精确和确定 。
庞加莱:用逻辑论证，用直觉发明 。
亨利·庞加莱，1854-1921
法国数学家和物理学家亨利·庞加莱(Henri Poincare)意识到，我们的直觉可能会产生误导(但它主要负责数学的发展)，逻辑推理是为了直观结果的最终论证 。他的大数学家分为两类，一类是遵循逻辑却无法“观察空”的分析师，一类是遵循直觉的几何学家 。根据庞加莱的说法:
是逻辑证明的工具，也只有它能给出确定性；直觉是发明的工具(庞加莱，1969) 。
想象一下，在一堂初等几何课上，有一个学生叫小明，他用直觉和逻辑来学习几何 。直觉是用来寻找证明策略的 。然后用逻辑一步步建立一个证明 。小明遇到了以下问题:

给定三角形ABC，证明角A、角B和角C之和为180度 。
小明马上想起来，平角是180度 。所以他认为这个问题一定和一条直线有关 。但是现在没有直线了，所以在某处画一条直线(辅助线) 。试着在其中一个顶点画一条直线，随机选择C 。这条线应该是什么方向？一个显而易见的选择是让它平行于AB 。通过辅助线，小明发现角A和角D相等，角B和角E也相等，但这只是直观感受 。不过，小明确实记得平行假设里的一些东西 。它们确实相等，所以a+b+c = e+d+c = 180 。
在这一点上，他解决这个问题的所有想法都来自于猜测和自发的判断，都来自于他在课堂上学到的东西 。与其说他是一个逻辑推理者，不如说他是一个凭直觉猜测的人 。接下来，她会用自己的逻辑推理能力，把这些点连接起来，给她的几何老师演示一个证明 。甚至这个简单的例子也说明了一个典型的数学家是如何通过直觉发明并通过逻辑论证的 。
拉塞尔:不需要意义的游戏 。
伯特兰·罗素，1872-1970
罗素和他的同事继续弗雷格未完成的研究(详见:机器人之死——逻辑、直觉和悖论，决策者的困境) 。然而，数学家越是试图避免弗雷格所反对的那种悖论，就越容易得出更微妙、更深刻的悖论 。
罗素举了一个他的悖论的例子，叫做巴伯悖论:
理发师会而且只会给那些自己不刮胡子的人刮胡子 。理发师自己刮胡子吗？

如果理发师自己剃，他(理发师)就不剃；这是一个矛盾 。另一方面，如果理发师自己不刮，就会被理发师刮；这也是一个矛盾 。
与弗雷格不同的是，罗素放弃了公理必须不证自明的思想，只要公理能够发展数学知识而不矛盾 。他曾经说过:
数学可以被定义为一门我们永远不知道我们在谈论什么或者我们说的是否正确的学科 。
任何先验知识，无论感觉多么不言自明，都是被禁止的，人类的直觉在数学的发展中应该没有一席之地 。罗素的《数学原理》花了362页推导出1+1=2也就不足为奇了 。

在《数学原理》第362页，1+1=2已经被证明 。
希尔伯特:不需要玩家的游戏 。
德国数学家大卫·戴维·希尔伯特(1862-1943)扩展了弗雷格和罗素的工作，提出了著名的希尔伯特方案，即数学的任何分支都可以重新表述为形式理论 。他问了以下三个问题是否有正解:
一个形式理论，其中公理不能产生矛盾，它的一致性能在理论本身内部得到证明吗？
形式理论能被证明是完整的吗，因为它在它想要体现的特定分支中包含了任何真实的数学陈述？
有没有一个纯机械的过程，我称之为普适证明机制，来决定任何一个给定的数学命题是真是假？这个问题在德语中被称为决策问题(Entscheidungsproblem) 。

希尔伯特期望他所有问题的答案都是肯定的，这将彻底消除直觉的必要性，让数学不再直观 。他对形式理论的乐观暗示了他的实证主义，即相信所有的数学问题都可以解决 。他的名言
我们必须知道，我们将会知道
刻在他的墓碑上 。希尔伯特和他的同事被称为“形式主义者” 。
希尔伯特认为，从一组一致的公理出发，一个形式理论可以是完整的，可以自我验证的 。一个形式理论之所以被称为形式“系统”，是因为它不应该由人类来解释，而是被机械地证明 。称这种制度为“正式”意味着以前对同一题目的处理是“非正式”的 。关于他的欧几里得几何形式理论，希尔伯特曾经说过，与其谈点、线、面，不如谈桌子、椅子、酒杯 。

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