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逻辑的极限与数学的困境 数学悖论( 二 )

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希尔伯特的“形式”数论
罗素认为数学是无意义的符号游戏，而希尔伯特则希望游戏本身能够发挥作用 。如果希尔伯特的宏大愿景是正确的，那么一个形式系统将总结过去，决定数学的未来 。讽刺的是，希伯特在这方面可能被自己的直觉误导了 。
歌德:数学家的回归
库尔特·哥德尔
库尔特·哥德尔(1906-1978)是奥地利裔美国逻辑学家 。他在完备性定理中证明了一阶逻辑的符号规则覆盖了所有有效的逻辑推理，这让希尔伯特程序看起来很有前途 。但是，哥德尔的不完全性定理会摧毁希尔伯特的程序 。他发现，有了后来以他命名的编号方案，他就可以把构成数字形式系统的数学表达式表达为数字本身 。这样，一个被认为能够证明数字事实的正式数字系统就能够证明关于自身的事实 。根据哥德尔的编号法，一个正式的数字系统变成了自引用的，如下所示:

此外，理论还包括一个关于理论本身能否被证明的陈述 。基于这一认识，哥德尔巧妙地构建了一个“说谎者悖论”的修正版本，如下所示:

哥德尔悖论
如果是真的，那么理论上无法证明 。如果是假的，那么它说的一定是假的，也就是说理论上可以证明，所以一定是真的 。于是，我们有了一个真正的数学命题，理论上既不能证明，也不能否定 。数学理论的形式系统，即使是数论这样的初等系统，也只是一种近似 。
图灵:程序员的崛起
能算出什么？
即使我们满足于一个不完整的形式系统，有没有一个普适的证明机制来解决判断问题？在深入研究这个问题之前，我们需要回答什么是“纯机械过程” 。英国数学家艾伦·图灵(Alan Turing，1912-1954)定义了一个“纯机械过程”的数学模型 。模型中定义的机器扫描被分成正方形的虚拟磁带 。根据规则表和它自己的内部状态，它接下来在方块上写一个符号，然后要么保持不变，要么向左或向右移动一个方块 。这个机器模型后来被称为图灵机，他用它来进行数学论证，而不是制造真正的计算机 。一般认为，宇宙中的一切都是可计算的，当且仅当它可以简化为图灵机 。这被称为丘奇-图灵假说 。上述规则体现在所谓的“计算机程序”中 。
停机问题
在定义了图灵机之后，图灵进一步证明了希尔伯特普适证明机制的不存在性 。受哥德尔编号方案的启发，图灵将机器编码成数字，这样机器就可以作为数字来研究，数字可以作为其他机器的输入 。现在图灵可以提出停机时间的问题了:有没有一个机器N可以决定在给定的输入下，任何一个机器是停止还是永远循环 。图灵指出，仅仅这个机器N的存在就会导致矛盾 。

1954年，NACA“计算机”与显微镜和计算器一起工作 。
图灵假设有一个特殊的机器M，它的工作与n的工作完全相反，如果n决定一个机器在把自己作为输入时停止，M将永远循环下去 。另一方面，如果N决定一台机器将永远循环，在这种情况下M将停止 。这样你就可以说M是被设计来故意摧毁n的，现在的问题是:当特供机M把自己当成输入的时候，会停下来吗？
如果M停在M上，根据M的定义，M将永远循环下去——矛盾
如果M永远在M上循环，M就会停止——这又是一个矛盾
这个自我参照悖论如下:

关机问题 。
因此，n不存在 。停机问题解决不了，或者说技术上无法确定 。
现在我们可以回到希尔伯特的决策问题 。如果有一个普适的证明机制，我们可以对n作为一个数学陈述进行任何查询 。但是N不存在，通用证明机制也不存在 。另一方面，如果n确实存在，我们可以通过以下简单的方法实现通用证明机制:首先，编写一个程序，无限搜索一个数学语句的所有可能证明，找到一个就停止；接下来我们问n之类的搜索程序是否停止 。因此，停机问题的不可解性意味着问题被确定为不可解，反之亦然 。
如果我们设想n的存在，我们就可以很容易地解决许多困难的或公开的数字理论问题 。比如我们可以证明哥德巴赫猜想，每个大于2的偶数都是两个素数之和 。我们可以简单地写一个程序，遍历从4开始的所有偶数，检查每个偶数是否真的是两个素数之和 。然后，我们将程序提供给N，询问它是否停止，从而证明猜想 。其实这个问题一直没有解决 。
不要为人类理性的力量设置任何限制，而是为数学中纯粹形式主义的可能性设置限制 。
换句话说，哥德尔和图灵所展示的是没有直觉的逻辑推理的局限性 。他们实际上证实了庞加莱的观点，即逻辑虽然严谨、确定，但只是一种论证工具，需要直觉的辅助 。

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