微积分导论(ap微积分历年真题)图灵教育2019-01-22 16:44:14
说到微积分，你的印象如何？想必，很多人会想到棘手的计算 。甚至会有人想到这种场景——在学校考试中，仅仅因为计算稍有错误，就会被大大扣分，这是极其悲惨的 。
唉，这个女生好像觉得解微积分题，套用背诵的公式就够了 。这是那种在学校考试中掌握了考试要领的典型人物 。
但是，至于如何治疗结石，还是有人喜欢上面的医生 。虽然他们能更好的计算微积分，但是刚学微积分的时候，重点不在计算上 。
数学家擅长数学，所以他们也擅长计算，对吧？不，不一定要这样 。令人惊讶的是，数学家不仅会犯许多简单的计算错误，而且在思维上也经常出错 。
创立组合拓扑学的天才数学家亨利·庞加莱经常出错，据说他的论文中有很多错误 。
然而，庞加莱的思维方向本质上是准确的 。只要你想对了方向，哪怕是一个小小的错误对整体来说都不是致命的 。在学校，很难按照根据计算结果的正确性来决定分数的思路来给分数 。
同样的，本文也侧重于“思维的本质”，我认为这是微积分的本质 。微积分的本质在于方法 。简单来说，如果你掌握了思维的“要领”，那么你就很容易理解复杂的公式 。往好的方向想，然后根据需要掌握计算技术就行了 。
本文几乎没有积分符号 。你可能会担心没有积分符号是否真的能理解相关内容 。其实，先接触微积分的本质内容，然后公式和公式会出乎意料地变得容易理解 。
积分的存在意义集成应用的基础
小学学的图形面积和体积的计算，其实是和整体世界联系在一起的 。积分的出现是因为人类需要掌握什么是可见的，比如计算物体的面积和体积 。
初等教育中的图形计算通常只针对矩形和圆形等规则图形 。现实中，这些知识往往很难直接应用 。
这是因为现实世界中存在的物质，并不是都是以学校里学的规则的形式存在的 。相反，这些规则的形状可以说只是例外或理想化 。因此，对于人类来说，测量现实世界中各种复杂图形的大小是非常必要的 。
日本小学的家政学课将教授乌冬面、薯片等简单菜肴的烹饪方法 。之所以在学校专门教授这些内容，是因为这些是烹饪中的基本方法 。其实我们自己做饭的时候，一般都是在店里买成品乌冬面，很少会经常煮土豆片 。然而，如果你掌握了这些基本的烹饪方法，你就可以烹饪更复杂的菜肴 。比如乌冬面的烹饪方法可以应用到面包、披萨或面食上，从薯片中学到的方法可以推广到土豆沙拉或炸糕上 。
如果把中小学的矩形和圆形知识比作乌冬面和土豆块，那么微积分就相当于面包、土豆沙拉等应用菜 。得益于积分法，人类可以计算出各种图形的面积和体积 。使用积分，无论形状多么奇怪，都可以努力计算出结果，这真的是一个很大的进步 。
把思维运用到实践中，用自己的力量推导面积和体积，是积分的乐趣，也是学习积分的真正意义 。
所有的图形都与矩形相通 。
图形有很多种，其中最简单的面积计算就是“矩形” 。
说到这里，你想到小学计算初心面积的场景了吗？在图形面积的计算中，三角形、平行四边形、梯形、圆形等图形都是在矩形之后研究的 。矩形的面积只能用“长和宽”来计算，可以说是最简单最简单的图形 。顺便说一句，在数学界，正方形被认为是“一个特殊的长方形” 。
掌握了矩形面积的计算方法后，可以将其应用于三角形的面积计算 。另一方面，如果不知道矩形面积的计算方法，就不能计算三角形的面积 。
这是因为三角形的面积可以看作“以三角形的一个底边为边长，边的高度为另一边矩形面积的一半” 。根据图2，三角形的面积正好是对应矩形的一半，也就是说“三角形的面积=底部高度2” 。
平行四边形呢？平行四边形可以看作是以平行四边形的边为基的两个三角形的组合 。
梯形呢？梯形可以看作平行四边形的一半 。如图4所示，两个相同的梯形并排组合成一个平行四边形 。因此，梯形的面积也是在矩形的基础上计算的，即“资源网的高度(上底+下底)为2” 。
从三角形到平行四边形再到梯形，虽然这三个图形看起来没有直接关系，但它们的面积公式都是基于矩形面积推导出来的 。
成为一个整体 。
计算圆的面积时，小学用的方法是用“正方形”来划分圆的内部空 。这样做的原因其实很简单，就是方形纸的方块就是方块 。
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