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ap微积分历年真题 微积分入门( 三 )

微积分这么简单教过圆环



但是，这个方法不容易想到 。因此，现阶段我们不必太过关注 。让我们先读下去 。
也就是说，这个积分公式的答案等于图48的半圆面积 。即
然后乘以刚刚跳过的16，圆环的体积可以得到
圆环看起来像是两个圆相乘形成的图形，其体积计算中的二次幂真的很有意思 。在数学中，环面被定义为“圆与圆的笛卡尔乘积(准确地说，环与圆的笛卡尔乘积)” 。说圆环体是两个圆相乘的图形，可以说就像文字一样——不，就像数字一样 。
像瞳孔一样计算圆环体的体积 。
上面提到的解决方案可以说是成人的解决方案 。然而，这种方法很难向连勾股定理和积分符号都不知道的小学生解释 。
没有上面提到的方法怎么分？适合给小学生讲解的方法是“分成细方块求圆的面积” 。但是，逐个计算方块的数量需要时间，所以让我们尝试一种新方法 。
为了改变思路，这里我先介绍一下“把圆分成扇形求圆面积的方法” 。我们的目标是找到圆环体的体积，但这个目标可以通过使用类似于“将圆分成扇区的方法来找到圆的面积”的思想来实现 。圆是立体的图形，整体很难想象，但如果是圆的，很容易形象化 。
如图49所示，将圆分成微小的扇形，然后使扇形上下交叉 。于是，我们得到了一个“平行四边形” 。
当然扇形弧是弯曲的，所以形成的平行四边形也有几分弯曲 。然而，如果我们逐渐分成更小的扇形，我们几乎看不到弯曲的圆弧，最终我们几乎可以将圆弧视为直线段 。通过无限分割成更小的扇形，平行四边形的精度将大大提高 。此时平行四边形的高度正好等于圆的半径，底边等于周长(半径)的一半 。也就是说，平行四边形的面积几乎等于“半径” 。因此，圆的面积等于“半径” 。
以上内容就是推导圆面积公式的“瞳孔式”方法 。
如何把甜甜圈变成蛇
结合上一篇文章导出的“瞳孔式”圆面积法，我们开始研究圆环体的体积 。还是用同样的思路想办法分割圆环体 。这次我们不会水平分割 。让我们尝试垂直拆分(图50) 。
圆环体垂直分割后，得到的截面只是一个小圆 。
为了进一步研究横截面的圆，我们首先把它分成八个相等的部分 。然后，利用圆分割后扇形交错排列的技巧，使圆形体相互交错 。
这样，圆环将被重建成一条蜿蜒的蛇 。

这里用的模型是石梅唐纳兹的白巧克力米线甜甜圈 。如果不需要甜甜圈，可以用百吉饼 。首先将甜甜圈分成8等份，如图53所示 。
切好的甜甜圈交错排列，形成下图(图54) 。
可以看到，重新排列的甜甜圈真的变成了蛇形的立体图形 。
这里，我们把甜甜圈分成8等份 。如果将甜甜圈分割得更细，例如100等份和200等份...蛇形立体图将更接近圆柱体(水平圆柱体) 。
也就是说，如图51所示，圆柱体的底部是半径为2的圆，而高度是半径为4的圆的周长(圆绕垂直轴旋转一次时圆心的轨迹长度)，即8 。
因此，我们寻找的圆环体的体积被转化为底部面积为2，高度为8的圆柱体的体积(图55)，即
圆周率可以等于约3.14 。代入3.14，可以发现圆环体的体积为315.507±2cm 。
顺便说一下，让我们找出白巧克力米线甜甜圈的体积 。甜甜圈截面圆的半径为1.5厘米，甜甜圈的直径为8厘米 。
也就是说，图51中粗线的圆半径为82-1.5=2.5 cm 。因此，甜甜圈的体积等于底部面积为1.5、高度为22.5厘米的圆柱体的体积，即
这与边长为4.8厘米的立方体的体积差不多 。
帕普斯-古尔丁定理
在日本中学的入学考试中，有一个计算旋转体体积的“秘技”——帕普斯-古尔丁定理 。
我们用这个定理来计算旋转物体的体积 。
在前环面中，“旋转的平面图形”是半径为2、面积为22=4的圆 。
然后是“旋转面重心所经过的距离”，这个问题中的“重心”可以理解为“旋转体的右中心” 。重心移动的距离等于圆柱体的高度，所以是42=8 。
【ap微积分历年真题 微积分入门】将这些数据代入帕普斯-古尔丁定理，我们可以得到“旋转体的体积”为48=32 。
很多聪明的小学生都知道这个“秘技”，一定有考生在实际考试中用到这个定理 。然而，解释这个计算原理真的不是一件容易的事情，你可以看到 。
通过将圆环体变成圆柱体，我们可以从这个过程中看到集成的本质 。
其实同样的方法也可以用来计算圆环体的表面积 。
在图55中，可以确认环面的表面积等于“底部半径为2、高度为8的圆柱体的横向面积” 。因此，半径为2的圆的周长为22=4，乘以8，环面的表面积等于32 。顺便说一下，这里的表面积和体积相等(都是32)，这只是个意外 。

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