|天才高斯——19世纪最伟大的数学家，近代数学的奠基者( 三 )

费马数

的数是素数，欧拉后来证明这个假说是错误的。高斯已经证明了，正17边形是可以作出的，问题自然出现了：正257边形和正65537边形是否可以用欧几里得的工具作出。在《算术研究》中，高斯对这个问题的回答是肯定的，他证明了，只要N是

的形式(式中， m是任一正整数， pn是不同的费马素数) ，那么，正N边形就可以做出。这个问题还剩下一个方面高斯没有回答，而且迄今为止没有人作出回答，这就是：

费马素数的个数是有限还是无限？

我们已经知道，对于n=5、6、7、8和9来说，费马数不是素数，但看来很有可能，有且只有5种可以用直尺和圆规作出的边数为素数的正多边形，其中两种在古代已经知道，另外三种是高斯发现的。有一个高斯很赞赏的人，就是柏林的数学教师费迪南德·戈特霍尔德·爱森斯坦，他补充了一个关于素数的新猜想，当时，他大胆提出了一个迄今为止尚未得到证明的想法：形如

等等的数是素数。据说，高斯曾发表这样的评论：“只有三个划时代的数学家：阿基米德、牛顿和爱森斯坦。 ”可惜爱森斯坦在不到30岁的时候便去世了。
高斯的《算术研究》一直处于沉睡状态，直至1820年代， C.G.J.雅可比和狄利克雷第一次揭示出，一些更深刻的结果正是源自于这部著作。
高斯对天文学的贡献?1801年1月1日，巴勒莫天文台台长乔赛普·皮亚齐发现了新的小行星谷神星；但几个星期之后，这颗小行星便看不见了。高斯相信，自己有非同寻常的计算能力，还有最小平方法的额外优势，于是他接受了挑战，要从这颗行星少量记录在案的观测数据中，计算出其运行轨道。为了完成从有限观测数据中计算运行轨道的任务，他设计出了一种方法，被称作高斯法，至今依然被用来追踪卫星。结果是一次引人瞩目的成功，这颗行星在这年年底被重新发现，跟他计算出的位置非常接近。高斯的轨道计算吸引了世界各国天文学家的关注，很快就使他在德国数学科学家中赢得了突出声望，当时，他们当中大多数人都从事天文学和测地学活动。 1807年，他被任命为哥廷根天文台台长，他保有这个职位将近半个世纪。两年后，他论述理论天文学的经典著作《天体运动论》出版。这本书为轨道计算提供了一份清晰的指导，到他去世的时候，已经被翻译成英文、法文和德文。
然而，轨道计算并不是高斯为自己赢得名声并为后代铺平道路的唯一的天文学领域。 19世纪的头十年里，他的很多时间花在了研究摄动问题上。在高斯的好友、希·威尔海姆·奥伯斯于1802年重新发现了小行星智神星之后，摄动问题成为天文学家关注的焦点。智神星的偏心率相对较大，尤其受到其他行星（像木星和土星）的引力的影响。确定这些引力的影响，是n体问题（欧拉和拉格朗日曾对n=2或3的情况进行过研究）的一个特例。
高斯从早年起就有意识地追踪这两位天才的足迹，对他来说，找出最近似解法这个难题尤其引人入胜。尽管他认为，他的成果当中只有一部分达到了公开发表的质量，但他对这个问题的研究，不仅导致了一些天文学论文，而且还有两篇经典论文，一篇是无穷级数，另一篇是数值分析的一种新方法。前一篇论文在1812年提交给了哥廷根协会，致力于研究超几何级数。因为这篇论文中所提出的收敛准则，常常被认为是开辟了数学分析严谨性的新时代。然而，应该指出的是，对收敛性的更深刻的理解，并没有阻止高斯和当时其他伟大的数学家在解决物理问题时使用发散级数，只要他们认为自己能够“有把握地”这样做就行。 ?