|天才高斯——19世纪最伟大的数学家，近代数学的奠基者( 四 )

微分几何的肇始?高斯在1827年开始的几何学分支被称作微分几何，它大概更多地属于分析学，而不是属于传统的几何学领域。自牛顿和莱布尼茨时代以来，人们一直把微积分应用于二维空间的曲线研究，在某种意义上，这项工作构成了微分几何的雏形。欧拉和蒙日把这一应用扩大到了对曲面的解析研究；因此，他们有时候被认为是微分几何之父。然而，直到高斯的经典论著《曲面的一般研究》出版，才有了一部完全专注于这一课题的综合性著作。粗略说来，正统几何学感兴趣的是一个给定几何图形的整体，而微分几何关注的是一条曲线或一个曲面在其上的一点的邻近区域的属性。在这个方向上，高斯通过定义一个曲面在一点上的曲率———“高斯曲率”或“总曲率”———从而扩展了惠更斯和克莱罗在一条平面曲线或非对称曲线的曲率上所做的工作。
如果通过一个良态曲面S上的一点P作S的法线N ，则通过N的平面束将会跟曲面S相交于一簇平面曲线，其中每一条曲线都有一个曲率半径。有着最大曲率半径和最小曲率半径(R和r)的曲线的方向，被称作S在点P上的主方向，它们始终互相垂直。 R和r的量值被称作S在点P上的主曲率半径， S在点P上的高斯曲率被定义为K=1/rR 。量值为

被称作S在点P上的平均曲率。高斯给出了根据曲面对于不同坐标系（曲线坐标系和笛卡尔坐标系）的偏导数的条件求高斯曲率K的公式；他还发现了一些关于在曲面上画出的曲线簇（比如测地线）的属性的定理，就连他也认为是“引人注目的定理” 。
高斯通过使用欧拉提出的一个曲面的参数方程，开始对曲面的处理。高斯证明了，一个曲面的属性仅依赖于E、F和G 。

这导致了很多的结果。特别是，它使得我们很容易说，曲面的属性是恒定的。正是在高斯的这一工作的基础上，黎曼及后来的几何学家转变了微分几何的主题。
高斯的晚期工作?高斯晚期研究贡献了两篇重要的短文：一篇是“代数中哈里奥特定理”的证明，另一篇包含了高斯的最小约束原理。历史学家常常引用第一篇论文（发表于1832年），因为它包含了高斯的复数的几何表示。这篇论文作为整体的重要性在于下面这个事实：它指出了一条道路，可以把数论从实数扩大到复数领域，甚至更远。正如上文已经指出的那样，这在数论领域后来研究者的工作当中是至关重要的。
高斯在他生命的最后20年里，只发表了两篇有数学意义的重要论文。一篇是他对代数基本定理的第四个证明，这个证明是他在1849年自己的博士周年纪念的时候发布的，距离他发表第一个证明已经时隔50年。另外是一篇关于位势理论的很有影响论文，发表于1840年。地磁学问题在19世纪30年代和40年代早期占了他的很多时间；在30年代晚期，他还投入了不少时间研究跟重量和度量有关的问题。他生命中最后十年的大部分出版物跟天文台的工作有关；涉及到课题有：新发现的小行星、对海王星的观测。
1855年2月23日，高斯死于心脏病发作。

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