莱昂哈德·欧拉|调和级数——自然真理是如何隐藏在数字中的，永远不要相信直觉莱昂哈德·欧拉

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【莱昂哈德·欧拉|调和级数——自然真理是如何隐藏在数字中的，永远不要相信直觉】

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如果你看看下面的表达式：
你可能会想知道，一直加下去会得到怎样的结果。后面的数字不断变小，直到它可以忽略不计。你可能想知道它是否仍然对总和有贡献。
这个表达式被称为 \"调和级数\" 。 N项调和级数的值是1到N倒数的和。
前五项（N=5）是：
那么，前100项、前1000项、前100万项、前100亿项是多少？它们是否收敛于一个值？
让我们来计算这些：

N = 5 → 2.28333...
N = 10 → 2.92897...
N = 100 → 5.18738...
N = 1000 → 7.48547...
N = 1000000 → 16.69531...
N = 1000000000 → 21.30048...

由此可见，调和级数增长得非常慢，在10亿次之后，只能达到21.3004 ，之后增长速度越来越慢。它实际上需要：
15092688622113788323693563264538101449859497项才能超过100 。那么，它最终会去哪里？它是 \"停 \"在某个具体的值上，还是继续增长？
让我们看看其他级数是否会收敛到某个数值上。例如，让我们看一下平方的倒数：
我且称它为 \"平方级数\" ，它其实没有官方的名字。事实上，这个级数确实收敛，收敛到（π^2）/6（=1.644934）。
这被称为 \"巴塞尔问题\" ，它确立了莱昂哈德-欧拉在数学界的地位，因为他用非常简洁的方法解决了这个问题。
你可能会对 \"π\"的出现感到惊讶。这里出现的π^2有很多 \"原因\" ，没有单一的答案。这更像是说水为什么是蓝色的。水首先不是蓝色的，天空是蓝色的，这本身与你自己的眼睛有很大关系，也与复杂的电磁力和其他物理学有很大关系。
归根结底，所有这些都与宇宙的真理相联系，但有几种方法可以将这些真理连接成一个解释。基本上，一个 \"无限长的线 \"的问题可以被转换为一个 \"无限大的圆 \"的问题。虽然圆的长度和直径变得无限大，但它们的比率保持不变：π 。
“平方级数” ：
趋近于 \"某数 \"的原因是相当容易理解的，不需要借助于一些更复杂的力学。
我们看看另一个级数：
其中分母按照1 ， 2 ， 6 ， 12 ， 20 ， ......的顺序排列，即：
并注意两个事实：