莱昂哈德·欧拉|调和级数——自然真理是如何隐藏在数字中的，永远不要相信直觉( 二 ) 莱昂哈德·欧拉

第二，你可以把这个级数改写为：

现在，只要消去这些项，你就会看到这个最终变成了2 。
因此，通过结合上面的两个事实，你可以确定 \"平方级数 \"是比2小的正数。这意味着它（平方级数）收敛到比2小的数值上。
现在，让我们在调和级数上尝试同样的方法。我们先把它改写为：
括号内的每项都大于等于1/2 。所以，整个级数比（1/2）n要大，当n无穷大时，级数也是无穷大的。
由于调和级数以1/N的速度增长，这让人很容易想起自然对数函数，它也是以1/x的速度增长（这个速度随着x越来越大而不断减慢）。

对数函数

自然对数函数表示e的几次幂才能得到x的函数。虽然对数函数的增长速度非常慢，需要超过10^434项才能达到1000 。但它确实是发散的。
调和级数就像对数函数的一个的兄弟，只是把 \"e \"而不是 \"10 \"作为其指数。另外，让数字 \"10 \"出现在这里比数字 \"π \"或 \"e \"更疯狂。
现在，有三个关于调和级数的奇怪事实。
欧拉-马斯克若尼常数（The Euler-Mascheroni constant）首先，看一下调和级数和对数函数的图像。它们之间有一个差值，在无穷远处，这个差异会变成一个特定的数字。
这个数字是欧拉-马斯克若尼常数，它是0.5772156649....
这个数字是否是无理数甚至是超越数（超越数的意思是，它是否可以成为某个涉及x的幂的方程的解），这是数学中最悬而未决的谜团之一。许多数学家认为，以我们目前的条件，永远也解决不了这个问题！
欧拉-马斯克若尼常数是一个相当不直观的数字，出现在许多结果中。它似乎说明了自然数的“粒度”性，因为它们与实数的连续性相违背。
目前还不清楚物理宇宙中一些更 \"奇特 \"的数字（例如精细结构常数）是否与之有某种关系，这可能会加重物理学家的负担，但对我来说，我宁愿希望它们有根本的联系。
交变调和级数关于调和数列的另一个奇怪的事实是交变调和级数。
相当奇怪的是，这个级数确实收敛（到ln 2）。
这可能不直观，但是，如果你重新排列这些级数项，实际上可以改变结果。例如，如果改写：
为：
并计算出这个级数，总和也会是原来的一半。注意我们没有剔除任何一项，只是重新排列了它们。
事实上，有可能以这样的方式重新排列交变调和级数，可以用它的无限之和来表示任何数字。只是项的排列最终会对最后的结果产生影响。
当涉及到无穷大时，不要相信你的直觉。
缺失的数字如果你“剔除”调和级数中出现的一些数字，就会发生一些意想不到的事情。让我们来看看，如果我们剔除所有分母中含有 \"3 \"的数字会发生什么：
我们剔除了1/3和1/13这两个项，因为它们的分母中有一个 \"3\" 。如果我们计算这个级数的值，会发现在这种情况下，这个级数确实收敛了。
事实上，如果我们按照任何模式剔除数字（无论我们剔除的数字中含有 \"4\" ，还是含有 \"5876846 \"字符串的数字，任何模式），剔除足够多的数字，调和级数将不再发散到无穷大，而是很快收敛到非常小的数字。
我希望你能好好想想这个问题：如果我们把所有分母中有“989078748629”的数字都去掉（不管你能想到什么数字），剔除足够多的项，级数将不再趋于无穷。
正如你所看到的，调和级数的发散性是相当脆弱的，有稍微的变动，级数就不再收敛。因此，永远不要相信你自己的直觉！你的直觉是什么？