真题|初二数学上册角平分线历年真题精选30道（含解析）( 五 ) 三角形|性质|考查|距离|面积

三．解答题（共10小题）
21．（2015?路南区二模）在学完全等三角形后，李老师给出了下列题目：
求证：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
已知：
求证：
证明：

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【考点】角平分线的性质．21 世纪教育网
【分析】连接OA ，作OE⊥AC ， OF⊥AB，垂足分别为E、F ，将△ABC的面积分为：S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB ，而三个小三角形的高OD=OE=OF ，它们的底边和就是△ABC的周长，可计算△ABC的面积．2-1-c-n-j-y
【解答】解：作OE⊥AC ， OF⊥AB ，垂足分别为E、F ，连接OA ，
∵OB ， OC分别平分∠ABC和∠ACB ， OD⊥BC ，
∴OD=OE=OF ，
∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB
=×OD×BC+×OE×AC+×OF×AB
=×OD×（BC+AC+AB）
=×3×21=31.5．
故填31.5．
【点评】此题主要考查角平分线的性质；利用三角形的三条角平分线交于一点，将三角形面积分为三个小三角形面积求和，发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键．
22．（2015春?泰山区期末）如图，在△ABC中， ∠C=90° ， AD平分∠CAB ，交CB于点D ，过点D作DE⊥AB于点E．

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（1）求证：AC=AE；
（2）若点E为AB的中点， CD=4 ，求BE的长．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 21 世纪教育网
【分析】根据题意画出图形，写出已知和求证，根据全等三角形的判定和性质证明结论．
【解答】已知：PE=PF ， PE⊥OA于E ， PF⊥OB于F ，
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明：在Rt△POE和Rt△POF中，
，
∴Rt△POE≌△RtPOF，
∴∠EOP=∠FOP，
∴ 点P在∠AOB的平分线上．
【点评】本题考查的是角平分线的判定的证明，灵活运用直角三角形全等的判定定理是解题的关键．
23．（2015?黄岛区校级模拟）现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．

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【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图． 21 世纪教育网
【分析】根据线段垂直平分线性质作出AB的垂直平分线，根据角平分线性质作出∠BAC的角平分线，即可得出答案．
【解答】解：
作AB的垂直平分线EF ，作∠BAC的角平分线AM ，两线交于P ，
则P为这个中心医院的位置．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力
24．（2015春?澧县期末）如图：在△ABC中， ∠C=90° AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E ， F在AC上， BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB ， DC⊥AC ，∴DE=DC，∵ 在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EBD （HL）． ∴CF=EB ；（2）∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB ， DC⊥AC ，∴CD=DE ．在△ADC与△ADE中，∵ ∴△ADC≌△ADE （HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB ．【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到AB的距离=点D到AC的距离，即CD=DE ，是解答本题的关键． 25．（2015秋?泰兴市校级月考）如图，已知BE⊥AC ， CF⊥AB ，垂足分别为E ， F ， BE ， CF相交于点D ，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC．【考点】角平分线的性质；全等三角形的性质；直角三角形全等的判定． 21 世纪教育网【专题】证明题．【分析】要证AD平分∠BAC ，只需证DF=DE．可通过证△BDF≌△CDE（AAS）来实现．根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE ，从而可得出AD平分∠BAC．【解答】证明：∵BE⊥AC ， CF⊥AB ，∴∠BFD=∠CED=90° ．在△BDF与△CDE中，，∴△BDF≌△CDE （AAS）． ∴DF=DE，∴AD 是∠BAC的平分线．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键． 26．（2014秋?芜湖校级期末）如图，在△ABC中， AD是它的角平分线，且BD=CD ， DE⊥AB、DF⊥AC ，垂足为E、F ，求证：EB=FC．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 21 世纪教育网【专题】证明题．【分析】首先由角平分线的性质可得DE=DF ，又有BD=CD ，可证Rt△BED≌Rt△DFC（HL），即可得出EB=FC． 21·cn·jy·com 【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB、DF⊥AC ，∴DE=DF， ∠BED=∠CFD=90° ，在Rt△BED和Rt△DFC中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD （HL），∴EB=FC ．【点评】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度不大．27．（2014秋?陇西县期末）如图：E是∠AOB的平分线上一点， EC⊥OA ， ED⊥OB ，垂足为C ， D．求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质． 21 世纪教育网【专题】证明题．【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得EC=DE ， ∠ECO=∠EDO=90° ，然后证明Rt△COE≌Rt△DOE可得CO=DO；（2）证明COF≌△DOF可根据全等三角形的性质可得FC=FD．【解答】证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点， EC⊥OA ， ED⊥OB ，∴EC=DE， ∠ECO=∠EDO=90° ，在Rt△COE和Rt△DOE中，，∴Rt△COE≌Rt△DOE （HL），∴CO=DO ；（2）∵EO平分∠AOB ，∴∠AOE=∠BOE，在△COF和△DOF中，，∴△COF≌△DOF （SAS），∴FC=FD ．【点评】此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 28．（2014秋?南昌期末）如图， AD是△ABC中∠BAC的角平分线， DE⊥AB于点E ， S△ABC=7 ， DE=2 ， AB=4 ，求：（1）S△ACD；（2）AC的长．【考点】角平分线的性质．网【分析】（1）根据S △ACD =S △ABC ﹣S △ABD，利用三角形的面积公式可求解；（2）过点D作DF⊥AC于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF ，再根据（1）中所求S △ACD =3 列出方程求解即可．【解答】解：（1）S △ACD =S △ABC ﹣S △ABD =7 ﹣ ×4×2=3 ；（2）如图，过点D作DF⊥AC于F ，∵AD 是△ABC中∠BAC的角平分线， DE⊥AB于点E ，∴DE=DF=2 ． ∵S △ACD =3，∴×AC×2=3，解得AC=3．【点评】本题考查了三角形的面积，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 29．（2014秋?苏州期末）一天，数学老师布置一个思考题，要求每个学习小组课后去讨论．你能和他们一起思考吗？题目是这样的：如图， P是∠AOB的角平分线OC上一点， PD⊥OA ， PE⊥OB ，垂足分别为D ， E．（1）比较PD与PE的长短，得；（2）在OC上另取一点Q ，画QF⊥OA ， QG⊥OB ，垂足分别为F ， G．再比较QF、QG的长短，得；（3）你可以在角平分线OC上再取其它一些点试试，从中你发现了什么？【考点】角平分线的性质． 21 世纪教育网【分析】（1）通过实际操作能得到P点到角的两边距离相等；（2）通过实际操作能得到P点到角的两边距离相等；（3）可以通过证明三角形全等来得到正确的结论；【解答】解：（1）用直尺量得PD=PE；（2）用直尺量得QF=QG；（3）证明：∵P是∠AOB的角平分线OC上一点，∴∠AOC=∠BOC，PD⊥OA， PE⊥OB ，∴∠ODP=∠OEP，∴△DOO≌△EPO，∴PD=PE，∴ 角平分线上的点到角的两边的距离相等．【点评】本题考查了角平分线的性质，通过学生的动手、动脑使得学生更加牢固的掌握了新知识． 30．（2014秋?赣州期末）已知：如图， ∠B=∠C=90° ， M是BC的中点， DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．

真题|初二数学上册角平分线历年真题精选30道（含解析）( 五 )

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