教师|用最简单的方式解释黎曼猜想（四），核心篇——非平凡零点与复变函数( 三 ) 数学

复平面不仅可以无限延伸，而且是用一种能穿过其自身的神秘物质制造的），并且把切口重新弥合。你脑海中的图景现在看起来有点像：

这就是平方函数作用于复平面的结果。
这不是一个空想的或无关紧要的操作。由此出发，黎曼发展出了一个完整的理论，称为黎曼曲面理论。它包含了一些强有力的结论，并且让人们深刻地了解了复变函数的特性。它还把函数论与代数学和拓扑学联系起来，这是 20世纪数学的两个关键性发展领域。事实上，它是黎曼大胆无畏而不断创新的想象力的一个典型产物—历史上最伟大的头脑之一的一个成果。
理解复变函数?

自变量蚂蚁

现在，把复变函数的自变量看作一只“无穷小”的蚂蚁。如上图所示，这只小蚂蚁用它前面的一只“手”抓着一个“小仪器” ，这个小仪器有三个显示屏：

因此，这只小蚂蚁始终精确地知道它在哪里，同时对于任何给定的函数，它知道它所站的那个点会被函数映射到哪里。
现在我们让这个小仪器显示zeta函数，让这只自变量蚂蚁在复平面上自由漫步。当“函数值”显示零的时候，它就正好站在zeta函数的一个零点（“自变量”）上。这只小蚂蚁可以在它所到之处做上记号。于是我们就能知道zeta函数的那些零点在哪里了。
实际上，我将要让这只自变量蚂蚁所做的工作，比上面所说的略多一点。我要让它给所有那些得出纯实数或纯虚数函数值的自变量作上记号。一个自变量，如果它的函数值是2或-2或2i或-2i ，就要做上记号；如果它的函数值是3-7i ，就不做记号。换一种方式说，被ζ 函数映射到实轴或虚轴的所有那些点都要做上记号。当然，因为实轴和虚轴在原点相交，得出这两条轴交点的自变量，就将是函数的零点。用这个方法，我可以得到ζ函数的某种图像。

自变量平面，显示了被zeta函数“映射”到实轴和虚轴上的点。

上图显示了这只小蚂蚁探索旅行的结果。其中的直线显示了实轴、虚轴及临界带。而所有的曲线都是由那些能被映射到实轴或虚轴上的点组成的。

试图想象出zea函数对复平面的作用结果是一项非常费力的智力操练。上面分析了，平方函数将这张平面在它自身上方拉伸了一圈，形成了双层膜曲面，而zeta 函数则无穷多次地做了同样的事情，产生了一个有无穷多层膜的曲面。如果你发现这很难被形象化，不要觉得很沮丧。你需要经过几年的长期实践才能获得对这些函数的一个直观感受。就像我说过的，我这里要用一种比较简单的方法。

现在我要让它沿着一些那样的曲线漫步。假设它从所站的点-2处开始起步。因为这是zeta函数的一个零点（平凡零点），函数值\"显示屏的读数是0 。现在他沿着实轴开始向西走。函数值从零开始缓慢爬升。
它向西刚走过点- 2.717262829 时，函数值到达数0.009159890 。然后它开始向着零跌落。函数值将一直下降，在自变量为-4时到达零。
另一种表现一个函数的方式是采用函数值平面的\"来源\"图。前面讨论的是被映射到令人关注的值（在那些例子中是纯实数和纯虚数）的自变量，与此不同的是，我可以给出一张函数值平面的图，显示来源于令人关注的自变量的那些函数值点。