教师|用最简单的方式解释黎曼猜想（四），核心篇——非平凡零点与复变函数( 四 ) 数学

让我们想象那个自变量蚂蚁有一个生活在函数值平面上的孪生兄弟。这个兄弟当然就是函数值蚂蚁。让我们进一步假设，这两兄弟保持着即时的无线电联系；而且它们用这个方法使它们的运动保持同步，以保证在任何瞬间，无论自变量蚂蚁正站在哪个自变量上，函数值蚂蚁就正站在函数值平面内的对应值上。例如，如果自变量蚂蚁正拿着它那设定在zeta函数上的小仪器在1/2+14.134725i上，那么函数值蚂蚁就站在它的平面即函数值平面的0上。
现在假设，自变量蚂蚁不再沿着自变量平面上那些奇特的环线和螺旋线走（它们使得函数值蚂蚁只能乏味地在实轴和虚轴上来回行走），而是从自变量1/2出发，沿着临界线向正北方笔直走上去。那么函数值蚂蚁将沿着什么路线前进呢？

函数值平面，一张非常经典的图，显示来自临界线上的那些点的函数值。

它的出发点是zeta（1/2），值是-1.4603545088095…… 。然后它在原点下方按逆时针方向走出一条类似半圆的弧线，接着在1附近拐弯并按顺时针方向转圈。它向原点走去并经过了它（那是第一个零点——自变量蚂蚁正好经过1/2+14.14.134725i）。然后它继续按顺时针方向转圈，并不时经过原点——每当它那位在自变量平面上的孪生兄弟踏上了zeta函数的一个零点。当自变量蚂蚁到达1/2+35i时，我停止了函数值蚂蚁的漫步。到这时为止，这条曲线五次经过了零点，对应于图上的五个非平凡零点。注意，临界线上的那些点有一种强烈的倾向，它们要映射到带有正实部的点上去。
再说一遍，函数值平面不像自变量平面那样是“映射”图；它是\"来源\"图，显示了zeta函数作用于临界线的结果。函数值平面图中的这条不断转着圈子的曲线就是zeta（临界线），即来源于临界线上点的所有函数值点的集合。
一般而言，自变量平面的\"映射\"图对于理解一个函数的广泛性质（即它的零点在哪里）来说是更好的工具。而函数值平面的\"来源\"图对于研究这个函数的特定方面或奇妙特性来说会更有用。 \"
黎曼猜想宣称， zeta函数的所有非平凡零点都位于临界线上——实部是1/2的复数所构成的直线。目前知道的所有非平凡零点确实都位于那条直线上。当然，那并不能证明什么。 zeta函数有无穷多个非平凡零点，没有一张图可以把它们全都表示出来。我们怎样才能知道第一万亿个，或者第一亿亿亿个，或者第一亿亿亿亿亿亿亿亿亿个是位于临界线上的呢？我们不知道，通过画图无论如何也无法知道。它与素数到底又有什么关系呢……
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