教师|用最简单的方式解释黎曼猜想（四），核心篇——非平凡零点与复变函数( 二 ) 数学

平方函数很容易扩展：

指数函数不那么容易。

指数函数的扩展需要运用欧拉恒等式：

具体如何定义e的复数次幂呢？下面等式显示了e^z的实际定义（对于任意数z ，实数或复数）：

如果z=πi ，那么z^2=-π^2 ， z^3=-π^3i ， z^4=π^4 ， z^5=π^5i ，等等。把这些带入上式得到：

右边收敛到-1 。

同样，对数函数也可以扩展到复数。它只是指数函数的逆函数。
那么，我们可以扩展黎曼zeta函数的定义域到复数范围吗？

当然可以。我告诉你，对于复数，你可以做任何事情。
由于zeta函数公式仍然是一个无限级数求和，因此仍然存在收敛性问题。对于任何实部大于1的复数，和是收敛的，数学上称为：

在半平面上Re(s) > 1

其中Re（s）表示s的实部。
然而，就像对于实变量的zeta函数一样，数学技巧可以将zeta函数的定义域扩展到不收敛的区域。应用这些技巧之后，就得到了完整的zeta函数，它的定义域是所有的复数，只有一个例外，在s = 1处。
如果有一些视觉辅助工具，复函数会更容易掌握。那么，如何将复函数可视化呢？我们来看看最简单的非平凡复函数，平方函数。如何画出它的函数图？如果自变量是实数，那么函数图很容易画出来：

但这不能用于复函数，复函数变量需要用二维平面来表示。函数值需要另一个二维平面。为了得到一个图，需要四维空间来画它。这显然是不现实的。
但我们可以换个方式。记住函数的基本概念，它将一个数字（参数）转换为另一个数字（函数值）。复数是复平面上的一点，函数值是另一个点。一个复函数把定义域内的所有点都“映射”到其他点上。你可以选择一些点，然后看看它们的走向。
例如，复平面上一些构成正方形边的数字a、b、c、d ，它们的值分别是?0.2 + 1.2i ，0.8 + 1.2i ， 0.8 + 2.2i ，和 ?0.2 + 2.2i 。把这些数代数平方函数会怎样？

?0.2 + 1.2i的平方是?1.4 ? 0.48i ，也就是a的函数值；将b、c和d平方可以得到其他角的值——我已经将它们标记为A、B、C和D 。如果你对沿正方形边缘的所有点重复这个步骤，以及组成网格内部的所有点，你就会得到如上图所示的扭曲的正方形。
把复平面想象成一块可以无限拉伸的橡胶片，然后问函数是如何作用这个橡胶片的，这对理解复函数很有帮助。从上图可以看出，平方函数将橡胶片围绕（00）点逆时针旋转并拉伸了。
黎曼有非常强大的视觉想象力，构想出了这个“东西” ，取整个复平面。沿负实轴切割，到原点为止。
黎曼看来有着非常强的直观想象力，他做出了下面的构想。取整个复平面。沿负实（西）轴切割，到原点为止。现在抓住切口的上半部，以原点为中心，把它按逆时针方向拉。拉着它恰好转过 360 度。此时它在被拉伸了的橡胶片的上方，而切口的另一侧在这张膜的下面。让它穿过橡胶片（你必须想象，