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在大多数科学领域，一代人总是摧毁上一代人所构建的东西，一代人所确立的东西总是被下一代人所毁灭 。只 有在数学领域,每代人都是在老建筑之上构建新楼层 。
分析学，无穷过程的研究，曾经被牛顿和莱布尼茨理解为涉及到连续量，比如长度、面积、速度和加速度，而数论则明显以离散的自然数集作为它的领地 。群论起初只涉及到离散的元素集，但克莱因想到了把数学的离散方面和连续方面在群的概念下统一起来 。19世纪确实是数学中互相关联的一个时期 。对分析学和代数学的几何学解释是这一趋势的一个方面；把解析的技术引入到数论领域是另一个方面 。到19世纪末，最强大的趋势是算术化；它影响了代数学、几何学和分析学 。
哥廷根大学有两个年轻人深受狄利克雷的影响，尽管他们在个性和数学方向上大相径庭 。一个是理查德·戴德金；另一个是波恩哈德·黎曼 。
黎曼在哥廷根
黎曼接替狄利克雷的位置时，他已经发表了5篇专题论文，其中两篇是论述物理学问题 。我们将援引黎曼最短的、大概也是最著名的一篇论文的实例，然后指出他对数学物理学的贡献 。
黎曼还得出了一些很有深度的跟数论和古典分析学有关的定理 。欧拉曾经注意到素数理论与下面这个级数之间的关系：
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式中，S是一个整数，这是狄利克雷级数的一个特例 。黎曼阵对S是一个复变量的情况研究了同样的级数，级数的和被定义为一个函数zeta（S），打那以后，这个函数被称作黎曼zeta函数 。黎曼是个多面手，有着富有创造力的头脑，他不仅对几何学和数论、而且还对分析学做出了贡献 。在分析学领域，他因为在积分定义的精炼上所扮演的角色，因为对柯西—黎曼方程的强调，以及因为黎曼曲面，而被人们所铭记 。这些曲面是一个匠心独运的方案，为的是让一个函数具有一致性，亦即，表示一个复变函数的一一映射，而这样的函数在平常的高斯平面上是多值的 。
这里，我们看到了黎曼的工作最为引人注目的方面：分析学中一种有着强烈直觉的几何学背景，与魏尔斯特拉斯学派的算术化趋势形成鲜明对照 。他的方法被称作“发现的方法”，而魏尔斯特拉斯的方法，正如我们将要看到的那样，是一种“证明的方法” 。他的成果极为重要，以至于伯特兰·罗素把他描述为“逻辑上是爱因斯坦的直接前辈 。”正是黎曼在物理学和数学上的直觉天才，使得像黎曼空间曲率或流形这样一些概念得以产生，如果没有这些概念，广义相对论是不可能被构想出来的 。
数学物理学
19世纪最早对数学物理学做出贡献的，是爱尔兰人威廉·卢云·哈密顿，他大量利用了他在1820年代晚期建立数学光学理论时发展出来的概念，其方法的关键是把变分原理引入到了某些偏微分方程的处理中 。他的研究建立在拉格朗日和泊松的工作的基础上，但利用了更早确立的一些物理学原理 。雅可比在19世纪30年代打造出了他自己的动力学，重塑了哈密顿的创新观念，并在他自己的理论背景下关注它们 。结果是如今所谓的哈密顿—雅可比理论 。哈密顿的主要支持者是苏格兰物理学家彼得·格思里·泰特（1831~1901） 。他的数学贡献包括早年对结的研究，在这一领域，他遵循了一条由高斯和利斯廷开创的不大为人所知的研究路线，得到了电力学研究的促进 。
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