实数的定义，正如汉克尔曾经提及的那样，是建立在有理数基础上的智性结构，而不是从外部强加给数学的某种东西 。在上述定义中，一个最流行的定义是戴德金的定义 。20世纪初，伯特兰·罗素对戴德金分割提出了修改 。
康托尔出生于圣彼得堡，在苏黎世、哥廷根和柏林上学期间，专注于哲学、物理学和数学———这个过程似乎培养了他前所未有的数学想象力 。1867年，他以一篇关于数论的论文获得了博士学位，但他的早期作品却显示出了对魏尔斯特拉斯的分析学的兴趣 。这一领域促使他在二十八九岁的时候头脑里迸发出的那些革命性的观念 。我们已经提到过康托尔跟“实数”这个平淡无奇的术语有关的工作；但他最具原创性的贡献是以“无穷”这个刺激性的词语为中心 。
自芝诺的时代以来，人们一直在谈论无穷，既在神学领域，也在数学领域，但1872年之前，没有一个人能够准确地说出他所谈论的是什么 。在关于无穷的讨论中，人们太过频繁地援引的实例，都是诸如无穷次幂或无穷大量之类的东西 。偶尔，像伽利略和波尔查诺的作品那样，人们的注意力也集中在一个集合的无穷多元上，例如，自然数或一条线段上的点 。在人们一直试图识别出数学中实际的或“完全的”无穷，在这样的努力中，柯西和魏尔斯特拉斯只看到了悖论，并相信无穷大和无穷小所指称的只不过是亚里士多德的可能性———即上述过程的不完全性 。康托尔和戴德金得出了相反的结论 。在波尔查诺的悖论中，戴德金看到的不是反常，而是无穷集的一个普遍属性，他把这一属性视为一个准确的定义：
一个系统S，当它与自身的严格意义上的一部分相似时，我们说它是无穷的；在相反的情况下，我们说S是一个有限的系统 。
用更现代的术语说，一个元素集S，如果它的一个真子集S'中的元素可以跟S中的元素建立起一一对应的关系，则我们说S是无穷集 。
戴德金的无穷集定义1872年发表在他的《连续性与无理数》中 。1874年，康托尔在《克列尔杂志》上发表了他最具革命性的论文之一 。他像戴德金一样，也认识到了无穷集的基本属性，但是，不同的是，他认识到，并非所有无穷集都是一样的 。在有限的情况下，如果不同的元素集可以建立起一一对应的关系，我们就说它们有一样的数量（基数） 。以有点类似的方式，康托尔着手依据集合的“势”来构建无穷集的等级体系 。完全平方数集或三角形数集跟所有正整数的集合有同样的势，因为这些集合可以建立起一一对应的关系 。这些集合似乎比所有有理分数的集合小得多，然而，康托尔证明，有理分数的集合也是可数的，也就是说，它也能跟正整数建立起一一对应的关系，因此有同样的势 。要证明这一点，我们只要循着下图中的箭头，顺着箭头的方向“数一数”分数 。
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有理分数非常密集，在任何两个有理分数（不管它们挨得多近）之间，总是还有一个有理分数；然而，康托尔的排列显示，分数集 的 势跟整数集是一样的 。你一定很想知道，是不是所有数集都有同样的势，但康托尔令人信服地证明了，情况并非如此 。例如，跟有理分数的集合比起来，所有实数的集合有更高的势 。为了证明这一点，康托尔使用了归谬法 。假设0与1之间的实数是可数的，表示为无尽小数（例如，1/3是0.333…，1/2是0.499…，以此类推），并以可数顺序排列如下：
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