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为了证明并非所有0与1之间的实数都被包括在上面的排列中，康托尔显示了一个无尽小数，与上面列出的那些数都不同 。要做到这一点，只需构建一个小数：
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这个实数在0与1之间，然而，它并不等于上面那个被假定为包含0与1之间的所有实数的排列中的任何一个数 。
实数可以用两种不同的方式细分为两种类型：（1）按照有理数和无理数，（2）按照代数数和超越数 。康托尔证明了，即使是代数数这一类（它们远比有理数更加一般），它们依然跟整数有一样的势 。因此，正是超越数，给予实数系以导致更高势的“密度” 。本质上正是密度问题，决定了一个集合的势 。
一个更令人吃惊的事实是：维数并不是一个集合的势的决定因素 。单位线段上点的集合，它的势跟单位面积或单位体积中的点———或者，就这个问题而言，甚至是三维空间里所有的点———的集合的势是一样的 。（然而，维数依然是某种权威的衡量，因为在不同维度的空间里，点的任何一一映射都必然是不连续映射 。）点集理论中的某些结果太吊诡，竟使康托尔本人在1877年写信告诉戴德金：
我认识到了它，但我不相信它
他请求戴德金检验他的证明 。出版者对接受他的论文也很犹豫，好几次，由于编辑迟疑不决，担心这种非传统的处理数学概念的方法中潜伏的错误，从而推迟了康托尔的文章在《克列尔杂志》上发表 。
康托尔的惊人成果，导致了集合理论作为一门成熟的数学学科的建立，被称为集合论或流形论，这一分支在20世纪中叶将对数学教学产生深远影响 。在创立这门学科的时候，康托尔花了很大的功夫让他的同时代人相信这些结果的有效性，因为存在相当可观的“无穷恐怖症”，数学家们很不愿意接受实际上的无穷或完全无穷 。在层层叠叠地堆积证据的过程中，康托尔最后构建了整个超限算术的大厦 。一个集合的“势”成了该集合的“基数” 。
因此，整数集的“基数”是“最小的”超限数E，而实数集或一条直线上点的集合的“基数”是一个“更大的”超限数C，即连续统的基数 。还有一个问题依然没有得到回答，这就是：E与C之间是不是存在超限数 。康托尔表示，有无穷多个超限数超过C，因为他证明了：一个集合的子集的集合，它的势总是高于该集合本身的势 。因此，C的子集的集合的基数是第三个超限数，这个子集集合的子集集合决定了第四个超限数，依次类推，直至无穷 。正如有无穷多个实数一样，也有无穷多个超限数 。
上面描述的超限数都是基数，但康托尔还发展出了超限序数的算术 。次序关系在数学中是一个很棘手的问题，因此到头来人们发现，超限序数算术惊人地不同于有限序数算术 。对于有限实例来说，序数的法则本质上跟基数的法则是一样的 。因此，3+4=4+3，而不管这些数字是代表基数，还是代表序数 。然而，如果你用ω来代表“计数”，则ω+1跟1+ω并不一样，因为1+ω明显跟ω相同 。此外，你还可以证明：ω+ω=ω且ω·ω=ω，这些属性不同于有限序数的属性，倒是类似于超限序数的属性 。
戴德金和康托尔都属于他们那个时代最有能力的数学家，肯定是最具原创性的数学家 。他惊人的产出，涵盖了数论、方程理论、椭圆函数及其他领域 。他对20世纪初叶代数学的影响相当大，对数论的影响也是如此 。众所周知的是他那句
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