乔治·加布里埃尔·斯托克斯的名字每一个研读高等微积分的学生都耳熟能详 。1850年，斯托克斯证明了斯托克斯定理 。麦克斯韦最有名的是他在电磁波动方程求导上所取得的惊人成功，他在促使数学家和物理学家使用向量上发挥了很大影响 。
魏尔斯特拉斯
在19世纪下半叶，柏林最重要的分析学家是卡尔·魏尔斯特拉斯 。1854年，魏尔斯特拉斯发表在《克列尔杂志》上的一篇论述阿贝尔函数的论文使他赢得了广泛的认可，在19世纪最后30余年里，他被很多人认为是世界上首屈一指的分析学家 。
在19世纪中叶之前，人们普遍认为，如果一个无穷级数在某个区间内收敛于一个连续而可微的函数f（x），则通过逐项求原级数的微分所得到的第二个级数在同一区间必定收敛于函数f'（x） 。有好几个数学家证明，情况未必是这样，而且，只有这个级数对于这个区间是一致收敛的 。魏尔斯特拉斯证明了，对于一个一致收敛的级数，逐项求积分也是允许的 。1870年，海涅证明，一个连续函数，如果你把一致收敛这个条件强加给它，则它的傅立叶级数展开就是唯一的 。在这方面，他消除了狄利克雷和黎曼论述傅立叶级数的作品中的困难 。
魏尔斯特拉斯对分析学的重要贡献之一被称作“解析延拓” 。魏尔斯特拉斯把解析函数定义为一个幂级数连同所有那些可以通过解析开拓从它这里获得的级数 。像魏尔斯特拉斯所做的这种工作，其重要性在数学分析中尤其能够感觉到，在这一领域，微分方程的解很少是以不同于无穷级数的其他形式求出的 。
分析学的算术化
1872年是有特殊意义的年份，不仅在几何学领域，而且特别是在分析学领域 。在这一年，至少有5个数学家对分析学的算术化做出了决定性的贡献，其中一个是法国人，其余的是德国人 。这个法国人是勃艮第大学的夏尔·梅雷；4个德国人分别是：柏林大学的卡尔·魏尔斯特拉斯，哈勒大学的H.E.海涅和格奥尔格·康托尔，以及不伦瑞克大学的J.W.R.戴德金 。这些人在某种意义上代表了半个世纪函数和数的性质研究的高峰，这项研究是1822年随着傅立叶的热理论以及马丁·欧姆的努力开始的，同一年，欧姆在《论完全一致的数学体系》中试图把整个分析学简化为算术 。
这50年的焦虑不安，有两个主要原因 。一个原因是对无穷级数上执行的运算缺乏信任 。人们甚至都不清楚，函数的无穷级数———例如，幂级数，正弦或余弦级数———究竟是不是始终收敛于它所源自的那个函数 。第二个原因是“实数”这个术语缺乏任何定义所引发的忧虑，这个定义是算术化计划的核心 。到1817年，波尔查诺已经充分意识到了分析学中严谨性的必要，以至于克莱因把他称作“算术化之父”；但波尔查诺的影响比不上柯西，后者的分析学依然受到几何直觉的妨碍 。就连波尔查诺在1830年前后提出的连续不可微函数也被后来者所忽视，魏尔斯特拉斯所给出的这种函数的实例，被普遍认为是它的最早例证 。
与此同时，黎曼展示了一个函数f（x），它在一个区间内无穷多个点上不连续，然而它的积分却存在，并定义了一个连续函数F（x），对于上述无穷多个点，它并没有导数 。黎曼的函数在某种意义上比波尔查诺和魏尔斯特拉斯的函数更正常一些，但有一点已经很清楚：积分需要一个比柯西的定义更为小心谨慎的定义，柯西的定义在很大程度上受到了一条曲线之下的区域这样一种几何感的引导 。今天从上和与下和的角度对一个区间上的定积分给出的定义，通常被称作黎曼积分，以纪念这个给出有界函数可积的充分必要条件的人 。例如，狄利克雷函数在任何区间上都没有黎曼积分 。更一般的积分定义，加诸函数的条件更弱，是在下个世纪提出的，但大多数大学微积分课程中所使用的积分定义依然是黎曼的定义 。
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