在波尔查诺的工作与魏尔斯特拉斯的工作之间，存在一段大约50年的间隔，但在这半个世纪里人们的努力是如此一致，对重新发现波尔查诺的作品的需要是如此迫切，以至于有一个著名的定理被冠以这两个人的名字，这就是波尔查诺—魏尔斯特拉斯定理：一个包含无穷多个元（比如点和数）的有界集S至少包含一个极限点 。尽管这个定理是波尔查诺证明的，而且柯西明显也知道，但正是魏尔斯特拉斯的工作，使得它被数学家们所熟悉 。
拉格朗日曾对傅立叶级数表示怀疑，但1823年，柯西认为他已经证明了一般傅立叶级数的收敛性 。狄利克雷让我们看到，柯西的证明是不充分的，并提出了收敛性的充分条件 。黎曼正是在试图放宽狄利克雷提出的傅立叶级数收敛性条件的过程中，发展出了他对黎曼积分的定义；关于这一点，他证明了一个函数f（x）在一个区间内可积，而无需可被傅立叶级数展开 。正是无穷三角级数的研究，导致了康托尔的集合理论 。
在决定性的1872年刚刚过去一年之后，一个有望对数学和数学史做出重要贡献的年轻人去世了，当时只有34岁 。他就是赫尔曼·汉克尔，黎曼的学生和莱比锡大学的数学教授 。1867年，汉克尔出版了《复数系理论》一书，他在书中指出：“建立一种泛算术的条件因此是一种纯智性数学，一种脱离了一切感觉的数学” 。我们已经看到，当高斯、罗巴切夫斯基和波约使自己摆脱了空间成见的时候，几何学的革命便发生了 。在有点类似的意义上，正如汉克尔所预见的那样，只有当数学家们懂得，实数应该被视为“智性结构”，而不是从欧几里得的几何学那里继承来的从直觉上给出的量，分析学的彻底算术化才成为可能 。
魏尔斯特拉斯试图把微积分跟几何学分离开来，把它仅仅建立在数的概念的基础之上 。要做这件工作，就必须给出独立于极限概念的无理数的定义，因为迄今为止前者依然以后者为先决条件 。为了纠正柯西的逻辑错误，魏尔斯特拉斯通过使数列本身成为数或极限，从而解决了一个收敛数列的极限是否存在的问题 。
康托尔与戴德金
戴德金早在1858年就开始关注无理数问题，当时他正在讲授微积分 。他得出结论，极限概念，如果想让它严谨的话，就应该仅仅通过算术来发展，无需来自几何的引导 。戴德金没有简单地寻找一条走出柯西的恶性循环的途径，而是问自己，在连续的几何量中，究竟有什么东西把它跟有理数区别开来 。
伽利略和莱布尼茨认为，直线上点的“连续”是它们的密度的结果———在任何两点之间总是有第三点 。然而，有理数也有这个属性，但它们并没有构成一个连续统 。在思考这个问题的时候，戴德金得出结论：一条线段的连续性，其本质并非由于一种含糊不清的紧密相连，而是要归因于一种截然相反的属性：线段上的一点把线段分为两部分的那种特性 。把线段上的点分为两类，使得每一点属于且只属于其中一类，且一类中的每一点都在另一类中的每一点的左边，在任何这样的分割中，都有且只有一点导致这种分割 。
戴德金认识到，可以把有理数域扩大，构成一个实数的连续统，只要你假设一个前提，这就是如今所说的康托尔—戴德金公理，即：一条直线上的点可以跟实数建立起一一对应的关系 。戴德金指出，现在，关于极限的基本定理都可以得到证明，而无需求助于几何学 。正是几何学，指明了通向连续性的恰当定义之路，但到最后，它被排除在这个概念正式的算术定义之外 。有理数系中的戴德金分割，或实数的等价物，如今取代了几何量，成为分析学的支柱 。
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