上帝创造了整数，其余的一切都是人的工作 。
他无条件地拒绝他那个时代的实数构建，理由是：它们没法仅通过有限的过程来实现 。据说他曾经问林德曼：证明π不是代数数有什么用，因为无理数是不存在的 。
克罗内克不仅挡住了康托尔在柏林大学获得教席的道路，而且，他还试图破坏康托尔正在创立的那个数学分支 。反过来，1883年，康托尔在他的《一般流形论基础》中写下了一段有力的辩护，他坚持认为：“明确的记数既可以用有限集来进行，也可以用无穷集来进行 。”他并不害怕落入他所描述的“超越数的深渊” 。克罗内克继续他对高度敏感、性情暴躁的康托尔的攻击，1884年，康托尔第一次患上了神经失常，在他此后30年的余生中，这种病还反复发作 。抑郁症的发作有时候导致他怀疑自己的工作，尽管像埃尔米特这样一些人的支持在一定程度上给他带来了安慰 。到最后，他的成就赢得了人们的认可 。希尔伯特惊呼：“没有人能把我们逐出康托尔为我们创造的天堂 。”
法国的分析学
19世纪中叶法国最著名的分析学工作大概是施图姆和刘维尔的工作，处理的是有边界条件的二次常微分方程理论 。事实上，上面谈到的这些论文就发表在19世纪30年代《刘维尔杂志》的最早几期上 。然而，它们的巨大意义只是逐步显现出来，尤其是通过后来的英国分析学家对它们的利用 。要解决的问题是把手头的表达式展开为特征函数的可展开性问题，这可以被视为傅立叶级数的一般化 。
施图姆不仅研究了傅立叶的热理论，还研究了他的论述方程的数值解的作品；这部作品的影响当你读到施图姆最早的重要理论成果时马上就一清二楚了 。这个成果就是他的“分离定理”：任何两个（实）解的振荡都是交替的，或者说是互相分离的 。施图姆—刘维尔理论不仅证明了可展开性，而且还提供了解法和特征函数求值的准则 。该定理最开始并不十分严谨 。到19世纪末，应用和证明的精细化才得以提供 。
刘维尔还以其他各种各样的贡献而著称 。在复分析领域，他的工作在刘维尔定理中被人们所铭记：如果一个复变量为z的完全解析函数f（z）在复平面上有界，那么，f（z）必定是一个常数 。从这个定理出发，可以推导出作为一个简单推论的代数基本定理：如果f（z）是一个次数大于零的多项式，且f（z）在复平面上任何地方都不为零，则其倒数F（z）=1/f（z）就满足刘维尔定理的条件 。所以，F（z）必定是一个常数，而它明显不是一个常数 。因此，至少有一个复数值z=z0满足方程f（z）=0 。在平面解析几何中，有另外一个“刘维尔定理”：从一点P到一条圆锥曲线C的切线的长度与C在相应切点上的曲率半径的立方根成正比 。最后，我们不妨来看看刘维尔对实数理论最有名的贡献 。
数论主要是处理整数，或者从更一般的意义上说，是处理整数的比———所谓的有理数 。这样的数始终是一个系数为整数的线性方程ax+b=0的根 。实 分析 处理的是一种更一般的数，要么是有理数，要么是无理数 。从本质上讲，欧几里得就已经知道，ax^2+bx+c=0的根（式中a、b和c都是一个给定长度的整数倍）可以在几何上用直尺和圆规作出 。如果方程：
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的 系数a、b、c…q和n都是整数，且n>2，则这个方程的根用欧几里得的工具通常是作不出的 。由于每个有理数都是这样一个方程对于n=1的一个根，问题自然来了：每个无理数是不是这样一个方程对于n≥2的一个根？对这个问题的否定回答是刘维尔在1844年证实的，那一年，他构建了一个范围广泛的代数实数类 。他发展出来的这个特殊的类被称作刘维尔数，范围更广泛的非代数实数被称作超越数 。刘维尔对超越数的构建十分复杂，但我们还是可以给出超越数的某些简单实例，比如0.1001000100001…或下面这种形式的 数 ：
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