1763年11月,都灵王朝代表去伦敦赴任时,带拉格朗日到巴黎.受到巴黎科学院的热烈欢迎,并初次会见J.R.达朗贝尔(d'Alembert).在巴黎停留六周后病倒,不能去伦敦.康复后遵照达朗贝尔意见,回国途中在日内瓦拜访了当时著名数学家D.伯努利(Daniel Bernoulli)和文学家F.伏尔泰(Voltaire),他们的看法对拉格朗日以后的工作有启发.
回到都灵后,拉格朗日的声望更高.朝野都认为他在都灵不能发挥才能.1765年秋,达朗贝尔写信给普鲁士国王腓特烈二世,热情赞扬拉格朗日,并建议在柏林给拉格朗日一个职位.国王同意后通知拉格朗日.但他回信表示不愿与欧拉争职位.1766年3月,达朗贝尔来信说欧拉决定离开柏林,并请他担任留下的职位.拉格朗日决定接受.待5月3日欧拉离开柏林去彼得堡后,拉格朗日正式接受普鲁士邀请,于8月21日离开都灵.
柏林时期(1766—1787).去柏林途经巴黎时,拉格朗日与达朗贝尔合作两周,于10月27日到达柏林.11月6日任命他为普鲁士科学院数学部主任.他很快就与院内主要骨干友好相处,如J.伯努利(Johann BernoulliⅢ)等.
1767年9月,拉格朗日同维多利亚·孔蒂(Vittoria Conti)结婚.他给达朗贝尔的信中说:"我的妻子是我的一个表妹,曾与我家人一起生活很长时期,是一个很好的家庭妇女."但她体弱多病,未生小孩,久病后于1783年去世.
在普鲁士科学院,拉格朗日的任务是每月宣读一篇论文,内容一般在《科学院文献》(Mémoires des l'Academie royale des scien-ces)以及《柏林科学院新文献》(Nouveaux memoires de l'Academie des Berlin)上发表.他还接受达朗贝尔的建议,经常参加巴黎科学院竞赛课题研究,并获得1772,1774,1776,1780年度的奖金.
拉格朗日在柏林期间完成了大量重大研究成果,为一生研究中的鼎盛时期,多数论文在上述两刊物中发表,少量仍寄回都灵.其中有关月球运动(三体问题),行星运动,轨道计算,两个不动中心问题,流体力学,数论,方程论,微分方程,函数论等方面的成果,成为这些领域的开创性或奠基性研究.此外,还在概率论,循环级数以及一些力学和几何学课题方面有重要贡献.他还翻译了欧拉和A.棣莫弗(De Moivre)的著作. 1782年给P.拉普拉斯(Laplace)的信中说:"我几乎写完《分析力学论述》(Traitéde Mécanique Analytique),但无法出版."拉普拉斯安排在巴黎出版,出书时已是1788年,拉格朗日已到巴黎了.此书成为分析力学的奠基著作.
1783年,老家建立"都灵科学院",任命拉格朗日为名誉院长.原出版刊物改为《都灵科学院综合论丛》(Mélanges des l'Acade-mie des sciences des Turin).拉格朗日也常寄论文回去发表.到1786年8月,因支持他的普鲁士国王腓特烈二世去世,决定离开柏林.他于1787年5月18日应巴黎科学院邀请动身去法国.
巴黎时期(1787—1813).拉格朗日1787年7月29日正式到巴黎科学院工作.由于他从1772年起就是该院副院土,这次来工作受到了更热情的欢迎,可惜达朗贝尔已在1783年去世.
到巴黎的前几年,他主要学习更广泛的知识,如形而上学,历史,宗教,医药和植物学等.1789年爆发资产阶级革命,他只是有兴趣地旁观.1790年5月8日的制宪大会上通过了十进位的公制法,科学院建立相应的"度量衡委员会",拉格朗日为委员之一.8月8日,国民议会决定对科学院专政,三个月后又决定把A.L.拉瓦锡(Lavoisier),拉普拉斯,C.A.库伦(Coulomb)等著名院士清除出科学院.但拉格朗日被保留,并任度量衡委员会主席.
1792年,丧偶9年的拉格朗日同天文学家勒莫尼埃(LeMonnier)的女儿何蕾-弗朗索瓦-阿德莱德(Renée-Francoise- Adelaide)结婚,虽未生儿女,但家庭幸福.
1793年9月政府决定逮捕所有在敌国出生的人,经拉瓦锡竭力向当局说明后,把拉格朗日作为例外.1795年成立国家经度局,统一管理全国航海,天文研究和度量衡委员会,拉格朗日是委员之一.同年成立的两个法国最高学府:师范学校和综合工科学校中,拉格朗日等为首批教授.在取消对科学院的专政后,1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院,选举拉格朗日为第一分院(即科学院)的数理委员会主席.此后他才重新进行研究工作,但主要是整理过去的工作,并结合教材编写完成一批重要著作.
《分析力学论述》于1788年出版后,拉格朗日就着手把书中的原理和方法推广到一般的情况.他在1810年前发表的一些论文,
如在《法兰西学院文献》(Memoires de l' Institute)中刊登的"关于任意常数变异法在所有力学问题中的一般理论"(Memoirs sur
la théorie génèrale de la variatiou des constantes arbitrairesdans tons les problèmes de la mécanique,1809年3月宣读)等,都是为修改出第二版作准备.第二版更名为《分析力学》(Mé-canique analytique),分两卷,上卷于1811年出版,下卷直到1816年才印出,拉格朗日已去世三年.
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