首先在建立天体运动方程上,拉格朗日用他在分析力学中的原理和(16),(17)式,建立起各类天体的运动方程.其中特别是根据他在微分方程解法的任意常数变异法,建立了以天体椭圆轨道根数为基本变量的运动方程,现在仍称作拉格朗日行星运动方程,并在广泛应用,此方程对摄动理论的建立和完善起了重大作用,方程在1780年获巴黎科学院奖的论文"彗星在行星作用下的摄动理论研究"(Recherches sur la théorie des perturbations queles comètes peuvent éprouver par l'action des planètes)[13]中给出,得到达朗贝尔和拉普拉斯的高度评价.另外在一篇有关三体问题的获奖文章中[8],把三体问题的运动方程组第一次降到七阶.
在天体运动方程解法中,拉格朗日的重大历史性贡献是发现三体问题运动方程的五个特解[8],即拉格朗日平动解.其中两个解是三体围绕质量中心作椭圆运动过程中,永远保持等边三角形.他的这个理论结果在100多年后得到证实. 1907年2月22日,德国海德堡天文台发现了一颗小行星[后来命名为希腊神话中的大力士阿基里斯(Achilles),编号588],它的位置正好与太阳和木星形成等边三角形.到1970年前,已发现15颗这样的小行星,都以希腊神话中特洛伊(Troy)战争中将帅们的名字命名.有9 颗位于木星轨道上前面60°处的拉格朗日特解附近,名为希腊人(Greek)群有6颗位于木星轨道上后面60°处的解附近,名为脱罗央(Trojan)群.1970年以后又继续发现40多颗小行星位于此两群内,其中我国紫金山天文台发现四颗,但尚未命名.至于为什么在特解附近仍有小行星,是因为这两个特解是稳定的.1961年又在月球轨道前后发现与地月组成等边三角形解处聚集的流星物质,是拉格朗日特解的又一证明.至今尚未找到肯定在三个拉格朗日共线群(三体共线情况)处附近的天体,因为这三个特解不稳定.另外,拉格朗日在一阶摄动理论中也有重要贡献,提出了计算长期摄动方法(《文集》Ⅴ,pp.125—414),并与拉普拉斯一起提出了在一阶摄动下的太阳系稳定性定理(参见《世界著名科学家传记·天文学家Ⅰ》中"拉普拉斯"条).此外,拉格朗日级数(8)式在摄动理论中有广泛应用.
在具体天体的运动研究中,拉格朗日也有大量重要贡献,其中大部分是参加巴黎科学院征奖的课题.他的月球运动理论研究论文多次获奖.1763年完成的"月球天平动研究"(Recherches sur laLibration de la lune)[6]获1764年度奖,此文较好地解释了月球自转和公转的角速度差异,但对月球赤道和轨道面的转动规律解释得不够好.后来在1780年完成的论文解决得更好(参见《文集》Ⅴ,pp.5—123).获1772年度奖的就是著名的三体问题论文[8],也是针对月球运动研究写出的.获1774年度奖的论文为"关于月球运动的长期差"(Sur l'equation séculaire de la lune)[9],其中第一次讨论了地球形状和所有大行星对月球的摄动.关于行星和彗星运动的论文也有两次获奖.1776年度获奖的是他在1775年完成的三篇论文[10,11,12,]其中讨论了行星轨道交点和倾角的长期变化对彗星
先说用法吧 ， 拉格朗日乘子法是用来求有限制的下最优解的 ， 这里限制条件就是制约函数 ， 求得就是在满足g（X）=b时f(X)的最值 。
下面说具体内容 ， 举个栗子比较容易讲：
假设f(X)是效用函数 ， g（X）=b是成本约束 ， 为了简便X=x好了（只有一个约束） ， 另外假设x的价格为p ， 后面会用到 。
那等式L=f(x)+λ[b-g(x)]的意义就是如何在花光b那么多预算的时候让f(x)最大 ， 答案显而易见就是当b=g(x)时所有预算花光 ， 剁手剁得很欢快 。这时λ就是收入的边际效用 ， 也就是b每增加1各单位 ， 效用就会增加λ那么多 。证明如下：
对L求x和λ的一阶偏导 ， 得到：
1.dL/dx=f'(x)+λg'(x)=0
2. dL/dλ=b-g(x)=0
第2个等式就是制约条件 ， 意思就是预算被花光（因为完整的拉格朗日乘子法是允许不花光的） 。
等式1变形得
3. λ=f'(x)/g'(x)
λ的定义就出来了 ， 也就是当b每增加1个单位 ， g'(x)=1/p ， 就是花在x上的钱多了1 ， 同时买了1/p那么多的x ， 这时λ=f'(x)/p ， 就是1单位收入带来的额外效用 。
这时因为X是一元的所以最值不用另外求 ， 就是当x=g^(-1)[b]时f(x)最大 。
现在变成二元的 ， X=(x,y) ， g（.）依旧是成本 ， f（.）还是效用 ， 但这时λ还是一样的意义 ， 只不过一阶偏导变成了3个:
dL/dx=0
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