他在师范学校的教材《师范学校数学基础教程》(Les le consélèmentaires sur les Mathématique donnés à l'cole Normale)于1796年出版,后来收进《拉格朗日文集》(Oeuvres de Lagrange,下面简称《文集》),第七卷的内容他在1812年作过大量充实.
1798年出版的《论任意阶数值方程的解法》(Traité de la ré-solution des éqnations numériques de tous les degrés),总结了早年在方程式论方面的成果,并加以系统化,充实后于1808年再版.
关于函数论方面他出版了两本历史性著作.一是《解析函数论,含有微分学的主要定理,不用无穷小,或用在消失的量,或极限与流数等概念,而扫结为代数分析艺术》(Theorie des fonctionsanalytiques,contenant les principes du calcul diffèrentiel dégagés de toute considération d'infiniment petits, d'éranouissa-nts, de limites et de fluxions, et réduits à l'analyse algébrique de quantités finies),1797年出版,1813年再版另一本《函数计算教程》(Lecons sur le calcul des fonctions), 1801年出版,由师范学校讲义改编.
1799年雾月政变后,拿破仑(Napoleon)提名拉格朗日等著名科学家为上议院议员及新设的勋级会荣誉军团成员,封为伯爵还在1813年4月3日授予他帝国大十字勋章.此时拉格朗日已重病在身,终于在4月11日晨逝世.在葬礼上,由议长拉普拉斯代表上议院,院长拉赛佩德(Lacépède)代表法兰西研究院致悼词.意大利各大学都举行了纪念活动,但柏林未进行任何活动,因当时普鲁士加入反法联盟.
主要贡献评述
拉格朗日在数学,力学和天文学三个学科中都有重大历史性贡献,但他主要是数学家,研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力.全部著作,论文,学术报告记录,学术通讯超过500篇.
拉格朗日的学术生涯主要在18世纪后半期.当对数学,物理学和天文学是自然科学主体.数学的主流是由微积分发展起来的数学分析,以欧洲大陆为中心物理学的主流是力学天文学的主流是天体力学.数学分析的发展使力学和天体力学深化,而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力.当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献.下面就拉格朗日的主要贡献分别评述.
数学分析的开拓者 牛顿和莱布尼兹以后的欧洲数学分裂为两派.英国仍坚持牛顿在《自然哲学中的数学原理》中的几何方法,进展缓慢欧洲大陆则按莱布尼兹创立的分析方法(当时包括代数方法),进展很快,当时叫分析学(analysis).拉格朗日是仅次于欧拉的最大开拓者,在18世纪创立的主要分支中都有开拓性贡献.
1.变分法.这是拉格朗日最早研究的领域,以欧拉的思路和结果为依据,但从纯分析方法出发,得到更完善的结果.他的第一篇论文"极大和极小的方法研究"(Recherches sur la méthode demaximis et minimies)[2]是他研究变分法的序幕1760年发表的"关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法"(Essai d'unenouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima desformules integrales indéfinies)[3]是用分析方法建立变分法的代表作.发表前写信给欧拉时,称此文中的方法为"变分方法"(themethod of variation).欧拉肯定了,并在他自己的论文中正式将此方法命名为"变分法"(the calculus of variation).变分法这个分支才真正建立起来.
拉格朗日方法是对积分
进行极值化,函数y=y(x)待定.他不象欧拉和前人用改变极大或极小化曲线的个别坐标的办法,而是引进通过端点(x1,y1),(x2,y2)的新曲线
y(x)+δy(x),
δy(x)叫曲线y(x)的变分.J相应的增量△J按δy,δy′展开的一,二阶项叫一次变分δJ和二次变分δ2J.他用分析方法证明了δJ为零的必要条件就是欧拉方程
他达继续讨论了端点变动时的情况以及两个自变量的重积分的情况,使这个分支继续发展.1770年以后,拉格朗日达研究了被积函数f包含高阶导数的单重和多重积分时的情况,现在已发展成为变分法的标准内容.
2.微分方程.早在都灵时期,拉格朗日就对变系数常微分方程研究做出重大成果.他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程,并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程的伴随方程,就是原方程的齐次方程.他还把欧拉关于常系数齐次方程的结果推广到变系数情况,证明了变系数齐次方程的通解可用一些独立特解乘上任意常数相加而成而且在知道方程的m个特解后,可以把方程降低m价.
在柏林时期,他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献,在1774年完成的"关于微分方程特解的研究"(Sur les intégralesparticulieres des equations différentielles)[22]中系统地研究了奇解和通解的关系,明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线.当然,他的奇解理论还不完善,现代奇解理论的形式是由G.达布(Darboux)等人完成的.
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