拉格朗日就在《解析函数论……》中,第一次得到微分中值定理(书中第六章)
【拉格朗日函数是什么，在微观经济学中怎么应用？】f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)(a≤c≤b),(12)
后面并用它推导出泰勒(Taylor)级数,还给出余项Rn的具体表达式(第二十章)
Rn就是著名的拉格朗日余项形式.他还着重指出,泰勒级数不考虑余项是不能用的.虽然他还没有考虑收敛性,甚至各阶导数的存在性,但他强调Rn要趋于零.表明他已注意到收题.
他同欧拉,达朗贝尔等在任意函数能否表为三角级数的长期争论,虽未解决,但为以后三角级数理论的建立打下了基础.
最后要提一下他在《师范学校数学基础教程》中,提出了著名的拉格朗日内插公式
直到现在计算机计算大量中点内插时仍在使用.另外在求多元函数相对极大极小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法,至今也在用.
除了对数学分析在18世纪建立的主要分支有开拓性贡献外,他对严格化问题也开始注意.尽管回避了极限概念,但他仍承认可以在极限基础上建立微积分(《文集》Ⅰ,p.325).但正是对严格化重视不够,所建立的分支到一定阶段就很难深入.这可能是他晚年研究工作少的原因.他在1781年9月21日给达朗贝尔的信中说:"在我看来,似乎(数学)矿井已挖掘很深了,除非发现新矿脉,否则势必放弃它…."(《文集》XⅢ368.)这说出了他和其他同事们的心情.事实表明,19世纪在建立数学分析严格基础后,数学更迅速地发展.
分析力学的创立者 牛顿的力学理论仍用几何方法讨论.到18世纪中期,欧拉和达朗贝尔开始用分析方法,而拉格朗日在使力学分析化方面最出色,他在1788年出版的《分析力学》一书,就是分析力学这门学科建立的代表作.他一生的全部力学论文以及同时代人的力学贡献,都归纳到这部著作中.他的研究目的是使力学成为数学分析的分支.他在《分析力学》的序言中说:"…我在其中阐明的方法,既不要求作图,也不要求几何的或力学的推理,而只是一些按照一致而正规的程序的代数(分析)运算.喜欢分析的人将高兴地看到,力学变成了它的一个新分支,并将感激我扩大了它的领域."实际情况正是这样.
拉格朗日在这方面的最大贡献是把变分原理和最小作用原理具体化,而且用纯分析方法进行推理,成为拉格朗日方法.
他首先引入广义坐标概念,故广义坐标又称为拉格朗日坐标.一个力学系统可用有限个坐标qj(j=1,2,…,N)表示qj= dqj/dt为相应的广义速度.力学系统总动能T(拉格朗日称之为活力)表为qj·qj和时间t的函数后,定义
为作用,最小作用原理成为δI=0.拉格朗日用变分法讨论δI=0时,导出了力学系统的运动方程为
其中Qj为力学系统受到的作用力在广义坐标中的表达式,称为广义力.如力为保守的,则存在势函数V,(16)式成为
(16)或(17)式就是第二类拉格朗日方程.后来S.D.泊松(Poisson)等引入函数
L就取名为拉格朗日函数.
拉格朗日还把这些方法用于研究质点组,刚体和流体.在流体力学中讨论流体内各点的运动方法仍称为拉格朗日方法.
最后收集到《文集》中的《分析力学》是第二版,共分两卷,785页.第一卷中一半讲述"静力学",主要讨论质点组和流体的平衡问题.从分析静力学原理开始,讨论了质点组和流体的平衡条件,并用于研究行星的形状.第一卷后半和第二卷全部讨论"动力学".
动力学部分共分为十三章,前四章讲述动力学原理和建立质点系统运动方程的拉格朗日方法,包括(16),(17)式的推导以及运动的一般性质.第五章"用任意常数变化解动力学问题的一般近似方法"中,把他在微分方程解法中的任意常数变异法用于解动力学方程.后面讨论了一阶近似的求积方法.第七章"关于能看作质点的自由物体系统在引力作用下的运动"主要讲天体力学的基本问题.第八,九章讨论不动中心吸引问题和刚体动力学.第十章讨论地球自转和月球天平动.最后三章讨论流体动力学基本问题,作为拉格朗日方法的应用.
拉格朗日创立分析力学使力学发展到新的阶段.拉格朗日方程(16),(17)式推广了牛顿第二运动定律使得在任意坐标系下有统一形式的运动方程,便于处理各种约束条件等优点,至今仍为动力学中的最重要的方程.在《分析力学》第二版印出(第二卷1816年)后不久,W.R.哈密顿(Hamilton)于1834年提出广义动量并建立哈密顿正则方程,又同K.G.雅可比(Jacobi)一起建立哈密顿-雅可比方法(1837)后,分析力学正式奠基建成,很快用到各学科领域.
天体力学的奠基者 天体力学是在牛顿发表万有引力定律(1687)时诞生的,很快成为天文学的主流.它的学科内容和基本理论是在18世纪后期建立的.主要奠基者为欧拉,A.C.克莱罗(Clairaut),达朗贝尔,拉格朗日和拉普拉斯.最后由拉普拉斯集大成而正式建立经典天体力学.拉格朗日一生的研究工作中,约有一半同天体力学有关,但他主要是数学家,他要把力学作为数学分析的一个分支,而又把天体力学作为力学的一个分支对待.虽然如此,他在天体力学的奠基过程中,仍有重大历史性贡献.
推荐阅读
- 尼桑逍客省油模式 东风日产逍客省油模式怎么用
- 射手座和12星座异性的恋爱日常
- 对不起的日语怎么说？
- 测另一半的姓氏超准,日期分析法
- 2022年9月1日到2022年12月7日一共有多少天
- 支票日期如果是10月怎么写
- 收获日2怎么联机,收获日2怎么跟好友一起玩
- 免费测一生有几次婚姻 日柱配对合婚
- 怎么看苹果手机的生产日期 如何查看苹果手机的生产日期
- 苹果x发布时间