文章插图
三角形的三心指外心、内心、重心 。外心是指三角形三条边的垂直平分线也称中垂线的相交点 。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆 。三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心即内切圆的圆心 。
重心是指三角形的三条中线的交点，其证明定理有燕尾定理或塞瓦定理，应用定理有梅涅劳斯定理、塞瓦定理 。
三角形性质：
1、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理） 。
2、在平面上三角形的外角和等于360°(外角和定理) 。
3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和 。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 。
4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角 。
5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度 。
6、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 。
7、在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半 。
（一）重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1 。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等 。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比 。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小 。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3 。
（二）外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心 。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角） 。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合 。
（三）垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆 。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2 。
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍 。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等 。
重心确定方法
1，组合法
工程中有些形体虽然比较复杂，但往往是由一些简单形体的组合，这些形体的重心通常是已知的或易求的 。
2，负面积法
如果在规则形体上切去一部分，例如钻一个孔等，则在求这类形体的重心时，可以认为原形体是完整的，只是把切去的部分视为负值（负体积或负面积） 。
3，实验法（平衡法）
如物体的形状不是由基本形体组成，过于复杂或质量分布不均匀，其重心常用实验方法来确定 。主要包括悬挂法和称重法 。
三角形有五心 。
【三角形的三心是什么？】三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心 。三条中线的交点是重心，三边垂直平分线的交点是外心，三条内角平分线的交点为内心，三角形三条高线的交点为垂心 。
与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心 。
扩展资料
三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：
（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；
（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；
（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；
（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；
（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心 。
参考资料来源：百度百科-三角形五心
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