世界数学七大难题：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨.米尔斯存在性和质量缺口、纳卫尔.斯托可方程、BSD猜想 。
1、NP完全问题
例：在一个周六的晚上 ， 参加了一个盛大的晚会 。由于感到局促不安想知道这一大厅中是否有你已经认识的人 。宴会的主人提议说 ， 你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝 。不费一秒钟你就能向那里扫视 ， 并且发现宴会的主人是正确的 。
如果没有这样的暗示你就必须环顾整个大厅 ， 一个个地审视每一个人 ， 看是否有你认识的人 。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多 。
2、霍奇猜想
二十世纪的数学家们发现了 ， 研究复杂对象的形状的强有力的办法 。基本想法是问在怎样的程度上 ， 可以把给定对象的形状通过把维数 ， 不断增加简单几何营造块粘合在一起来形成 。这种技巧是变得如此有用 ， 使得它可以用许多不同的方式来推广 。
最终导致一些强有力的工具 ， 使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展 。不幸的是在这一推广中 ， 程序的几何出发点变得模糊起来 。在某种意义下必须加上某些没有任何几何解释的部件 。
霍奇猜想断言 ， 对于所谓射影代数簇这种特别完好的空间类型来说 ， 称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合 。
3、庞加莱猜想
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带 ， 那么我们可以既不扯断它 ， 也不让它离开表面 ， 使它慢慢移动收缩为一个点 。另一方面如果想象同样的橡皮带 ， 以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上 ， 那么不扯断橡皮带或者轮胎面 ， 是没有办法把它收缩到一点的 。
苹果表面是“单连通的”而轮胎面不是 。大约在一百年以前庞加莱已经知道 ， 二维球面本质上可由单连通性来刻画 ， 他提出三维球面（四维空间中与原点有单位距离的点的全体）的对应问题 。这个问题立即变得无比困难 ， 从那时起数学家们就在为此奋斗 。
4、黎曼假设
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质 ， 例如 ， 2、3、5、7等等 。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用 。在所有自然数中这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而德国数学家黎曼（1826~1866)观察到 。
素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ（s)的性态 。著名的黎曼假设断言 ， 方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上 。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过 。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明 。
5、杨.米尔斯存在性和质量缺口
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的 。大约半个世纪以前 ， 杨振宁和米尔斯发现 ， 量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系 。基于杨.米尔斯方程的预言 ， 已经在全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实 。
布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和驻波 。描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解 。被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设 ， 从来没有得到一个数学上令人满意的证实 。问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念 。
6、纳卫尔.斯托可方程的存在性与光滑性
起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船 ， 湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行 。数学家和物理学家深信 ， 无论是微风还是湍流 ， 都可以通过理解纳维叶.斯托克斯方程的解 ， 来对它们进行解释和预言 。
虽然这些方程是19世纪写下的 ， 我们对它们的理解仍然极少 。挑战在于对数学理论作出实质性的进展 ， 使我们能解开隐藏在纳维叶.斯托克斯方程中的奥秘 。
7、BSD猜想
数学家总是被诸如x2+y2=z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷 。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答 ， 但是对于更为复杂的方程 ， 这就变得极为困难 。事实上正如马蒂雅谢维奇指出 ， 希尔伯特第十问题是不可解的 。
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