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|高斯积分可视化，理解积分背后的思考过程


|高斯积分可视化，理解积分背后的思考过程
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开尔文勋爵在谈到这个积分时写道 。 \"一个数学家对他来说就像两倍于二的四对你来说一样明显\" 。
我假设你知道一些基本的积分和微分 。 下面的内容将为后面的巧妙技巧增加一些直觉感知 。 如果其中有些内容稍微有点令人费解 ， 也不用担心 ， 只要试着感觉一下我所说的就好了 。
这里的方法是做一个巧妙的替换 。 但我们要做的是两个变量的替换 。 你可以把当前的问题想象成计算曲线下的面积：
但我们要说明的是 ， 这个问题也可以变成计算体积的问题 。
为了计算体积 ， 我们使用了一个与普通积分略有不同的变量变化公式 。 我们将使用极坐标 。 这是用半径和角度来表示x和y坐标的 。
【|高斯积分可视化，理解积分背后的思考过程】在计算曲线下的面积时 ， 有一个元素 \"dx\" ， 它代表了沿x轴的一个小距离 。 当计算体积时 ， 有dx dy ， 这就像一个边长为dx和dy的小矩形 。 然后用这些元素来构造一系列估计体积的“块” 。 这一点在下面的视觉效果中最容易看到 。 积分是这些近似值的极限 。
当使用极坐标系统时 ， 有一个稍微不同的面积元dA 。 随着角度和半径的微小变化 ， 这个面积元可以越来越好地被一个边长分别为dr和r*dθ的矩形所近似 。 对于小的θ ，sin(θ)可以很好地被theta所近似 ， 然后你可以证明下面的结果：
求解积分首先给积分起个名字 ， 我们叫它I 。
注意 ， x只是一个 \"哑变量\" ， 无论使用什么变量名称 ， 面积都是存在的 。 因此 ， 我们也可以写出以下两道方程式：
现在 ， 由于I只是一个常数 ， 尽管我们还不知道它的值 ， 我们可以使用正常的规则将一个常数带入积分中：
到目前为止 ， 我们还没有做什么实质性的工作 。 现在我们要认真思考一下积分的含义 。 我们取函数的积分 。 如果两个函数在任何地方都取相同的值 ， 那么它们就是相同的 ， 并且有相同的面积 。 考虑到这一点 ， 如果把I*exp(-x^2)看作是x的函数 ， 也就是说 ， 把x的值作为输入 ， 并给出一个数字作为输出 ， 我们就可以进行以下运算：
我承认 ， 这有点难以接受 。 在第一行中 ， 只是用一个不同的变量名重写了I的积分形式 。 在第二行 ， 将I*exp(-x^2)视为一个函数 ， 我们意识到可以将exp(-x^2)带入dy积分中 ， 这样对于任何x的输入值都会得到相同的输出值 。
把它完整地写出来 ， 就是：

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