|热方程——数学物理学的基本方程之一，致使傅里叶级数的诞生( 二 )

我们可以写成一个更紧凑的形式：
其中
正如你所看到的，我们已经将右手边表达为差值，即ΔΤ_1和ΔΤ_2 。
如果这两个差值相同，那么中间点的温度T_m的导数为0 ，因此， T_m将不会改变。如果差值是正的，那么T_m的导数将是正的， T_m将增加。完全类比，如果差值为负，意味着中间点的邻居的平均温度低于它自己的温度。因此， T_m将减少。
我们甚至可以更进一步，把上面的公式改写成如下:
我们使用双△符号来表示差值的差值，或通常所说的二阶差。现在，在上面的例子中，我们分析了一维铁棒的有限的点集。如果要过渡到连续的情况，怎样才能替换二阶差分？在这种情况下，二阶差分的类似物是什么？当然，我们可以使用二阶导数：

一维热力方程式

一个点的温度变化率与它周围的温度的二阶差成正比。

这很容易被推广到更高的维度。例如，如果我们有一个三维的金属立方体，而不是一个一维的铁棒，那么相应的热方程将是如下：

三维热方程

这就是热方程的本质。虽然它一开始看起来有点令人生畏，但如果我们把它一点一点地分解，你可以看到它实际上在直观层面上是有意义的。
我们不会在本文中讨论如何解热力方程，因为这对我们理解其背后的直觉没有帮助。不过，我们要提到的是，这个方程诞生了现代数学的基石，傅里叶级数。
扩散方程到目前为止，我们一直在研究的热方程描述了热量的流动方式。事实证明，我们可以把这个方程概括为描述各种其他的扩散现象。
扩散方程是描述由扩散控制的物理量在空间和时间上的变化的偏微分方程，即离子、分子甚至能量在溶液中从高浓度区域向低浓度区域的转移。
扩散方程如下：

扩散方程

其中D是一个称为扩散率的比例常数， P是经历扩散过程的量（温度、密度等）。
但是，它看起来不是和热力方程一样吗？这背后的原因是，它们基本上是同一个方程。事实上，热方程只是扩散方程的一个简单应用，其中被扩散的量是热量。
如果我们把P换成房间里的气体密度，将得到描述气体密度扩散的方程。在这一点上，我想提及的是，扩散方程本身就是更广泛的连续性方程与菲克定律的结合的应用。我们将在未来的文章中深入探讨这些概念。
最后【|热方程——数学物理学的基本方程之一，致使傅里叶级数的诞生】热方程，或通常所说的扩散方程，对工程师和物理学家都具有重要意义。它帮助我们描述热流、分子扩散、布朗运动、地热气体的特性等过程。它在纯数学意义上也非常重要，因为它是典型的抛物线偏微分方程，在偏微分方程的理论分析中起着首要作用。