数学|20世纪的数学—黄金时代，抽象浪潮席卷全球，不断突破知识的边缘( 二 ) 微积分

当希尔伯特在1904至1910年间研究积分函数的时候，他并没有明确提到无限维空间，但他发展出了一个有无穷多个变量的函数的连续性的概念。希尔伯特究竟在何种程度上正式构建了后来以他的名字命名的那个 “希尔伯特空间” ，这是一个悬而未决的问题，但它们对数学界的影响是巨大的。他在积分方程上的工作很快就被弗里德里希·里斯和恩斯特·费希尔扩展到了更一般的函数和抽象空间。
在希尔伯特关注积分方程的那些年里，阿达马正在从事变分计算的研究，他的门生弗雷歇则在1906年有意识地试图通过他所说的函数演算对这一领域的方法进行一般化。普通微积分处理的是函数，而函数演算关注的是泛函数。函数是一个数集S1与另一个数集S2之间的对应，而反函数则是一个函数类 C1与另一个函数类C2之间的对应。弗雷歇阐述了一些一般化的定义，大致相当于普通微积分中诸如极限、导数和连续性这样的术语，适合于他所创造的函数空间，在很大程度上为新的形式引入了一套新的词汇表。
有人说，拓扑学是从庞加莱的开始的，另一些人则声称，它始于康托尔的集合论，或者说，多半始于抽象空间的发展。还有人把布劳威尔视为拓扑学的创立者，尤其是因为他在1911年提出的拓扑不变性理论，因为他把康托尔的方法跟拓扑学的方法融合了起来。无论如何，持续至今的拓扑学的集中发展是从布劳威尔开始的。在这个拓扑学的 “黄金时代” ，美国数学家做出了引人注目的贡献。有人说， “拓扑学开始的时候是很多的几何学和很少的代数学，现如今，它是很多的代数学和很少的几何学。 ” 而拓扑学一旦可以被描述为没有度量的几何学，代数拓扑学就开始主宰这一领域。
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黎曼曲面

在哥廷根大学讲授黎曼曲面的赫尔曼·外尔也强调了一个曲面（二维流形）的抽象性。他声称，流形的概念不应该跟点空间（通常的几何学意义上）联系起来，而应该赋予更宽泛的意义。我们只不过从一种被称作 “点”的事物（可以是任何对象）的集合开始，并通过恰当的定义引入连续性的概念。
豪斯道夫1914年出版的《集合论基础》的第一部分是对集合论典型特征的系统阐述，在他的阐述中，元素的性质无关紧要，只有元素之间的关系才是重要的。在此书的后半部分，我们发现， “豪斯道夫拓扑空间”从一个公理集中清晰地发展了。作者把一个拓扑空间理解为一个由元素x和某些子集S（被称作x 的邻域）所组成的集合。
如果说有哪本书标志着点集拓扑学作为单独一门学科出现的话，那这本书就是豪斯道夫的《集合论基础》。有趣的是，我们注意到，尽管正是分析学的算术化开始了从康托尔通向豪斯道夫的思想路径，但到最后，数的概念被彻底淹没在更加一般的观点之下。此外，尽管 “点”这个词被用在它的名称中，但这门新学科跟普通几何学中的点没多大关系，正如它跟普通算术中的数也没多大关系一样。拓扑学在20世纪的出现，是作为一门统一几乎整个数学的学科，有点像哲学试图把一切知识协调起来一样。因为它的本原性，拓扑学成为绝大部分数学的基础，为数学提供了意想不到的凝聚性。
代数学
在20世纪初进入了分析学、几何学和拓扑学的那种高度的形式抽象不能不入侵代数学的地盘。结果是一种新类型的代数学，

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