概率论
第二次世界大战之后的很多数学分支代表了一次全新的出发 ， 预示了一个新时代的来临 。 集合论和测度论在整个20世纪侵入了不断拓宽的数学领域 ， 很少有哪个数学分支像概率论那样完全不受这一趋势的影响 ， 对这一领域 ， 博雷尔贡献了他的《概率论原理》 。 新世纪的头一年对于概率论来说是幸运的一年 ， 无论是在物理学中 ， 还是在遗传学中 ， 因为吉布斯在1901年出版了他的 《统计力学的基本原理》 ， 同年 ， 卡尔·皮尔森创办了《生物统计学》杂志 。 庞加莱众多的头衔当中有一个是“概率演算教授” ， 显示了他对这一学科的兴趣 。
在俄国 ， 切比雪夫的学生马尔可夫开始了关联事件链的研究 。 在气体分子运动论中以及在很多社会和生物学现象中 ， 一个事件的概率常常依赖于之前的结果 ， 尤其是自20世纪中叶之后 ， 马尔可夫的关联概率链得到了广泛的研究 。 作为不断扩张的概率论的数学基础 ， 统计学家们找到了一个近在手边的恰当工具 ， 概率论的任何严谨表述 ， 如果不使用可测函数和现代积分理论的概念 ， 都是不可能的 。 古典分析学一直关注连续函数 ， 而概率问题通常涉及到分离的实例 。测度论和积分概念的扩展十分适合在分析学与概率论之间建立起更紧密的联系 ， 尤其是在20世纪中叶、当巴黎大学的洛朗·施瓦茨通过分布理论把微分的概念一般化之后 。
原子物理学中的迪拉克delta函数显示 ， 长期以来让数学家们头痛不已的病态函数在科学中也很有用 。 然而 ， 在更困难的实例中 ， 可微性失灵了 ， 结果导致微分方程的解———数学与物理学之间的主要联系环节之一———的问题 ， 尤其是在牵涉到奇解的情况下 。 为了战胜这个困难 ， 施瓦茨提出了更宽泛地看待可微性 ， 通过巴拿赫、弗雷歇等人在20世纪上半叶对广义向量空间的发展 ， 使这一观点成为可能 。 一个线性向量空间是一个满足某些条件的元素a、b、c … 的集合 ， 尤其是包括这样一个条件：
如果L的元素是函数 ， 则这个线性向量空间被称作线性空间 ， 这种情况下的映射被称作线性泛函 。 施瓦茨所说的 “分布” ， 指的是可微且满足其他条件的函数空间上的线性连续泛函 。 接下来 ， 施瓦茨发展出了一个分布的导数的恰当定义 ， 使得一个分布的导数本身始终是一个分布 。 这提供了对微积分的强有力的一般化以及对概率论和物理学的直接应用 。 泛函分析———尤其是对变分计算的一般化———和分布理论自20世纪中叶以来一直都是数学研究的重要课题 。
同调代数与范畴论
现代代数（或抽象代数）、拓扑学和向量空间的基本概念是在1920至1940年间定下的 ， 但接下来的20年目睹了蔓延到代数学和分析学领域的代数拓扑学方法中名副其实的巨变 。 结果是一门被称作同调代数的新学科 ， 亨 利·嘉当和塞缪尔·艾伦伯格 撰写的论述这一课题的第一部专著出版于1955年 ， 在接下来的12年里紧随其后的还有几部专著 ， 其中包括桑德斯·麦克莱恩的《同调》 。 同调代数是抽象代数的发展 ， 涉及的结果对很多不同种类的空间都有效———这是代数拓扑对纯代数地盘的一次入侵 ， 抽象代数与代数拓扑之间这种普遍而有力的交叉 ， 其速度变得越来越快 。 此外这一领域的结果的适用性是如此广泛 ， 以至于古老的代数学、分析学和几何学等标签几乎都不适合最近的研究成果 。 数学此前从未像今天这样彻底地统一起来了 。
这一趋势的征兆 ， 就是艾伦伯格和麦克莱恩在1942年提出函子和范畴的概念 。
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