20世纪50年代后 ， 大多数巨大的发展都跟自然科学没多大关系 ， 而是被纯数学本身之内的问题所激发；然而 ， 在同一时期 ， 数学对科学的应用有了极大的增加 。 对这一异常情况的解释似乎很清楚：对模式的抽象和洞察在自然研究中扮演着越来越重要的角色 ， 正如它们在数学中一 样 。 因此 ， 即使在超抽象思维的今天 ， 数学也依然是科学的语言 ， 正如它在古代一样 。 经验现象与数学结构之间存在着一种密切的联系 ， 这一点似乎被当代物理学的最新发现以一种出人意料的方式证实了 ， 尽管这种一致性的根本理由依然很模糊 。 从公理的观点看 ， 数学因此显得像是一座抽象形式（数学结构）的仓库；碰巧的是———我们不知道为什么———经验现实的某些方面很适合这些形式 ， 仿佛是通过了某种预适应一样 。
布尔巴基
布尔巴基这个名字代表一群数学家 ， 几乎完全是法国人 ， 他们组成了一个小集团 。布尔巴基的《分析学基础》包含6个子标题：(1)集合论 ， (2)代数学 ， (3)一般拓扑学 ， (4)实变函数论 ， (5)拓扑向量空间 ， (6)积分 。 这些标题表明 ， 这些书中所包含的数学只有很少一 部分在一个世纪之前存在 。 布尔巴基对这一学科的展示 ， 其典型特征就是毫不妥协地忠诚于公理方法 ， 忠实于清晰地描绘逻辑结构的完全抽象的一般形式 。 希望通过对结构的强调实现思想的极大节约 。
20世纪初 ， 数学中的浪漫主义者担心贫瘠的形式主义在逻辑主义的鼓励下接管他们的学科 。 到这个世纪中叶 ， 形式主义者和直觉主义者之间的争执偃旗息鼓了 ， 布尔巴基觉得没有必要在这场论战中偏袒哪一方 。
逻辑与计算
历史的讽刺之一是 ， 就在布尔巴基及其他纯数学家追求以观念取代计算这个目标的同时 ， 工程师和应用数学家们发展出了一个工具 ， 它重新点燃了人们对数值计算和代数技术的兴趣 ， 并强烈影响了很多数学系的构成 ， 这就是计算机 。 在20世纪的上半叶 ， 计算机的历史更多地牵涉到统计学家、物理学家和电子工程师 ， 而不是数学家 。 台式计算机和穿孔卡控制系统对商业、 银行和社会科学是不可或缺的 。 计算尺成了工程师的象征；各种类型的积分仪被物理学家、测地学家和统计学家所使用 。 纸和笔依然是数学家们的主要工具 。 尽管大多数重要努力是物理学家和工程师推动的 ， 但很多年轻的数学家在自动数字电子计算机的发展中扮演了积极的角色 。 其中大多数数学家在他们涉足计算机的时候都处在他们职业生涯的早期阶段 ， 很多人在1930年代获得了博士学位 。 我们妨看看三个对新兴计算机领域做出贡献的数学家 。
约翰·冯·诺依曼在21岁那年发表的一篇论文中 ， 给出了序数的新定义；两年后 ， 他为集合论提出了一套公理系统 ， 提供了在策梅洛和弗兰克尔的体系之外的可选方案 。 1926年 ， 他发表了一篇关于博弈论的开拓性论文 。 冯·诺依曼是20世纪最有创造力、最多才多艺的数学家之一 ， 他是数理经济学新方法的开拓者 。 计量经济学长期以来利用数学分析 ， 但正是通过冯·诺依曼和奥斯卡·摩根斯特恩在1944年出版的 《博弈论与经济行为》 ， 所谓的有穷数学开始在社会科学中扮演一个越来越重要的角色 。
麻省理工学院的诺伯特·维纳在1948年出版了他的《控制论》一书 ， 这本书确立了一门新的学科 ， 致力于研究动物和机器中的控制与沟通 。 冯·诺依曼和维纳都深深地卷入了量子论 ， 前者在1955年被任命为原子能委员会的成员 。 然而 ， 得出下面这个结论将是错的：像这样一些人只不过是应用数学家而已 。 他们对纯数学至少做出了同 样广泛的贡献———对集合论、群论、运算微积分、概率论以及数理逻辑与基 础 。 事实上 ， 正是冯·诺依曼 ， 在1929年前后赋予了希尔伯特空间以它现在的名称、它最早的公理化以及它目前的高度抽象的形式 。 在20世纪初 ， 现代线性空间理论的起源上 ， 尤其是在巴拿赫空间的发展上 ， 维纳都很重要 。
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