数学|20世纪的数学—黄金时代，抽象浪潮席卷全球，不断突破知识的边缘( 三 ) 微积分

有时候被不恰当地描述为 “现代代数学” ，它主要是20世纪20年代的产物。诚然，代数学算术化的渐进过程在19世纪就开始发展，但在20世纪，抽象程度急剧向上。在韦德伯恩的一篇文中，他把他的课题从对特定数域的依赖中抽象了出来。韦德伯恩在这篇论文中提出了很有影响的结构定理。这些定理是这样陈述的：

任何代数都可以表示为幂零代数和半单代数之和。
任何不是单代数的半单代数都是单代数的直和。
任何单代数都是本原代数与单矩阵代数的直积。

艾米·诺特在1921年把代数数域的理想数分解定理转变成任意环中理想子环的分解定理。在这项工作的基础上，沃尔夫冈·克鲁尔发表了一系列论述环的代数理论的论文，实现了与施泰尼茨那篇论述域的论文类似的结果。诺特和她的学生们对环论做出了另外一些重要贡献，这之后，她便转向了从理想论的观点处理有限群的表示。通过诺特的影响力，这些代数学概念跟拓扑学联系了起来，确定了拓扑学的研究方向。
微分几何与张量分析

20世纪初的微分几何提供了一个有趣的实例，可以用来研究外部力量如何影响了人们对一个数学分支不断改变的态度。这一领域的研究者做出了一些次要的贡献，阐述了一些有趣的可选方案，但它明显是一个注定只有专家才感兴趣的领域。
然而，在阿尔伯特·爱因斯坦宣布了他的广义相对论之后，这种情况得到了戏剧性的改变。 1915年，爱因斯坦介绍了他的引力方程的发现，他指出，这标志着“高斯、黎曼、里奇等人所创立的一般微分学方法的一次真正的胜利。 ”人们对广义相对论的兴趣导致了大量的出版物，旨在阐明或拓展广义相对论和微分几何。
1916 年。研究集合论的德国数学家格哈德 · 赫申伯格提出了连接的概念。列维—齐维塔在1917年提出了平行的概念，并于1920年代初在罗马大学讲授他继续称之为绝对微积分的这门学科，随后出现了多维微几何原理和里奇微积分等专著。在超过一代人的时间里，相对较少的数学家认识到了，研究微分几何的新方法的种子已经播下。
20世纪初，赫尔曼·外尔讲授黎曼的函数理论，把黎曼的作品建立在满足严谨性需要的从集合论上严格证明的基础上。现在，概念和定义，比如复流形的初步定义，成了后来大多数流形研究的基础。此后，外尔还探索了线性连接的概念，有一段时间认为，把这跟相似群联系起来可能导致统一场论。 1920年代中期，人们撰写了一批论述李群的线性表示的经典论文，部分程度上是他的这项工作的结果。与此同时，从研究李群开始自己的职业生涯的埃利·嘉当对微分几何进行了改进。
嘉当在他研究工作的早期便发展出了外微分形式的微积分。他把这打造成了一个强有力的工具，既用于微分几何，也用于很多其他数学领域。他的主要成就是建立在两个概念的基础上：