卓越|19世纪最伟大的发现是纯数学的性质( 七 ) 大学

弗雷格对基数的定义（后来为避免悖论而进行了修改）1884年出现在一本著名作品《算术的基础》中，从这个定义出发，他得出了我们在小学算术中所熟悉的整数的属性。在接下来的几年里，弗雷格在他的两卷本著作《算术的基本法则》中简化了他的观点。在这部著作中，作者着手从形式逻辑的概念得出算术的概念，因为他不同意查尔斯·皮尔斯的断言：数学与逻辑学明显不同。弗雷格曾在耶拿大学和哥廷根大学接受教育，在漫长的职业生涯中一直在耶拿大学教书。然而，他的计划并没有得到多少响应，直到20世纪初才由伯特兰·罗素独立承担起来，当时，它已经成为数学家们的主要目标之一。弗雷格因为自己的工作受到冷落而深感失望，但过错部分地在于这些成果赖以铸就的那个过于新颖的哲学形式。历史证明，新颖的观念如果用相对比较传统的形式来表述就更容易被人们接受。
在参与抽象代数的发展上，意大利不如法国、德国和英国那么积极，但在19世纪末的那些年里，有一些意大利数学家对数理逻辑产生了浓厚的兴趣。其中最有名的是朱塞佩·皮亚诺，他的名字之所以被人们所铭记，多半跟皮亚诺公理有关，代数学和分析学有那么多严谨的结构依赖于这些公理。他的目标类似于弗雷格的目标，但在更加雄心勃勃的同时，也更脚踏实地。在他的《数学公式汇编》中，他希望发展出一种形式化的语言，不仅包含数理逻辑，而且包含所有重要的数学分支。他的计划吸引了一个由合作者和弟子们组成的庞大圈子，这部分源自于他对形而上学语言的回避，源自于他对符号的恰当选择———例如∈（属于）、∪（逻辑和或并）、∩（逻辑积或交）和?（包含）———其中很多符号今天还在使用。他为他的算术基础选择了三个原始概念：零、数（即非负整数）和“后继”关系，满足下列5个假设：

零是数。
若a是数，则a的后继者也是数。
零不是任何数的后继者。
其后继者相等的两个数，本身也相等。
如果数集S包含零，而且还包含S中每个数的后继者，则每个数都在S中。

当然，最后一个条件就是归纳公理。皮亚诺公理最早是在1889年出版的《算术原理新方法》中阐述的。这里，假设法达到了精确性的新高度，没有歧义，没有隐藏的假定。皮亚诺还在符号逻辑的发展上做出了很大的努力，这是20世纪最受青睐的一项研究。
我们回过头来看，可能会赞美19世纪是一个取得空前成就的时期，不管在几何学、分析学还是在代数学领域。就范围的广度、想象力、严谨性、抽象性和概括性而言，此前没有哪个世纪能跟它媲美。然而，尽管已经取得了迅速的进步和决定性的形式化，但人们没怎么感觉到数学的发展注定要慢下来。
【卓越|19世纪最伟大的发现是纯数学的性质】拉格朗日在18世纪末表达过的那种“世纪末”悲观主义在19世纪末明显缺席。就数学领域而言，维多利亚时代弥漫的只有乐观主义气氛。