被称作西尔维斯特析配法的结果 ， 让它等于零就给出了消元的结果 。
比他在消元法上的工作更为重要的是西尔维斯特在发展“形式”（齐次多项式）理论上与凯莱之间的合作 ， 通过这一合作 ， 这两个人开始被人们称作“不变式兄弟” 。 在解析几何与物理学中最重要的实例是含有两个和三个变量的二次形式 ， 因为 ， 当让它们等于一个常量的时候 ， 它们便代表了二次曲线和二次曲面 。 就特例而言 ， 当你让齐次式Ax^2+2Bxy+Cy^2等于一个非零常量时 ， 根据B^2-AC小于、等于或大于零 ， 它分别代表了椭圆（实的或虚的）、抛物线或双曲线 。 此外 ， 如果这个形式在坐标轴绕原点旋转下被转变成新的形式A'x^2+2B'xy+C'y^2 ， 则（B'）^2-A'C'=B^2-AC ， 也就是说 ， 表达式B^2-AC（称作该形式的特征值）在这样一种变换下是一个不变式 。 还有两个跟形式相关联的重要不变式是下面这两个特征方程的根k_1和k_2：
事实上 ， 这两个根是标准形式k_1x^2+k_2y^2中x^2和y^2的系数 ， 如果这个形式不是抛物型的话 ， 可以通过旋转坐标轴简化为标准形式 。
如果我们用M代表形式的系数矩阵 ， 用I代表二阶单位矩阵 ， 则特征方程可以写作:
式中竖线代表了矩阵的行列式 。 矩阵代数最重要的属性之一是：矩阵M满足它的特征方程 ， 这个结论是在1858年给出的 ， 并被称作哈密顿—凯莱定理 。。
线性结合代数
正是线性结合代数的分类 ， 标志了美国人对现代代数学贡献的开始 。 线性结合代数包括普通代数、向量分析和四元数作为特例 ， 但并不受单位1、i、j、k的约束 。 本杰明·皮尔斯为162种代数编制了乘法表 ， 与19世纪初普遍盛行的只有一种代数的观念相去甚远 。 查尔斯·皮尔斯在这个方向上接续了他父亲的工作 ， 他证明了 ， 所有这些代数当中 ， 只有3种代数的除法是唯一定义的：普通代数、复数代数和四元数代数 。
本杰明·皮尔斯正是在涉及到他在线性结合代数上的工作时 ， 在1870年给出了那个著名的定义：“数学是得出必然结论的科学” 。 他的儿子全心全意地同意这个观点 ， 这是由于布尔的影响 ， 但他强调 ， 数学和逻辑学并不是一回事 。 “数学是纯假设的：除了条件命题之外它不产生任何东西 。 相反 ， 逻辑学就它的命题而言是无条件的 。 ”这一区别在20世纪上半叶的整个数学界又进一步争论 。
代数几何
1882年 ， 有两篇重要作品发表 ， 在我们这些事后诸葛亮看来 ， 它们预示了20世纪的重要趋势 。 一篇是利奥波德·克罗内克论述代数量的算术理论的深度研究 。 这篇艰深难懂的论文对世纪之交的代数学家和数论学家有着明显的影响 。 另一篇作品是戴德金和韦伯联合撰写的论述代数函数理论的论文 。 戴德金和韦伯利用前者在处理代数数的过程中所发展出来的代数理论 ， 把黎曼论述函数理论的作品跟它的几何基础剥离开了 。 这让他们能够以这样一种方式来定义黎曼曲面的组成部分 ， 使得可以认为它对于代数函数域是不变的 。 纯代数方法为后黎曼时代的代数几何开辟了一条全新的康庄大道；事实上 ， 它最后被证明是20世纪的研究者所遵循的最富有成果的大道之一 。 然而 ， 差不多半个世纪过去之后 ， 这一点才变得明显了 。
代数整数和算术整数
伽罗华的工作之所以重要 ， 不仅因为它使得群这个抽象概念成为函数理论的基本概念 ， 而且还因为它通过戴德金、克罗内克和库默尔的贡献 ， 导致了一种研究代数学的新途径 ， 可以称之为算术方法 ， 有点类似于分析学的算术化 。 但这并不意味着回到中世纪和文艺复兴时期的观点：代数是一种用来求未知数的运算法则 。 它意味着 ， 小心谨慎地根据不同的数域对代数结构作假设处理 。 域的概念在阿贝尔和伽罗华的作品中已经有所暗示 ， 但戴德金似乎是最早在1879年对数域给出明确定义的人———它是一个数集 ， 关于加法和乘法（除了零的倒数之外）构成一个阿贝尔群 ， 对于这个数集 ， 乘法在加法上分配 。
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