1833年 ， 哈密顿向爱尔兰皇家学会提交了一篇重要的长篇论文 ， 文中 ， 他提出了实数对的形式代数的组合法则 ， 这些法则恰好就是今天针对复数系给出的那些 。 重要的数对乘法法则当然是：
他把这个乘积解释为一种涉及旋转的操作 。 在这里 ， 你看到了把复数视为一个有序实数对的决定性观点 ， 这一观念曾经在维塞尔、阿尔冈和高斯的图示法中暗示过 ， 但如今第一次明确地表达出来 。
哈密顿认识到 ， 他的有序数对可以被想象为平面上的有向实体 ， 他自然而然地试图从二元复数a+bi走向有序三元组a+bi+cj ， 从而把这个观念扩大到三维 。 加法运算没有什么困难 ， 但此后10年的时间里 ， 他一直受阻于n元组（n大于2）的乘法 。 1843年的一天 ， 他突然灵感闪现：如果使用四元组而不是三元组 ， 如果他抛弃乘法的交换律 ， 他的困难就会迎刃而解 。 有一点或多或少已经清楚了：对于四元数a+bi+cj+dk ， 你应该取i^2=j^2=k^2=-1 。 现在 ， 哈密顿还认识到 ， 他应该让ij=k ， 但ji=-k ， 类似地 ， jk=i=-kj ， ki=j=-ik 。 在其他方面 ， 运算法则就像在普通代数中一样 。
哈密顿也是通过抛弃乘法的交换
哈密顿一直把四元数的发现视为他最大的成就 。 如今回想起来 ， 有一点很清楚：更加重要的并不是这种特殊的代数 ， 而是对数学所享有的一种巨大自由的发现：它完全可以去构建新的代数学 ， 而无需满足所谓的“基本法则”强加的限制 ， 而在此之前 ， 这些基本法则得到了含糊的形式持久性原则的支撑 ， 没有例外可以援引 。 哈密顿在他一生的最后20年里 ， 把时间都花在了他所钟爱的代数学上 ， 他认为代数学充满了宇宙意义 ， 而某些英国数学家把代数学视为一种莱布尼茨的广义算术 。 他的《四元数讲义》出版于1853年 。 这部大部头著作的很多内容致力于四元数对几何学、微分几何和物理学的应用 。 对于现代代数学史的主要意义是下面这个事实：哈密顿提出了非交换代数体系的详细理论 。
格拉斯曼与《线性扩张论》
n维向量空间的概念 ， 在赫尔曼·格拉斯曼的《扩张论》中得到了详细的处理 ， 这本书1844年以德文出版 。 格拉斯曼还通过研究负量的几何学解释以及二维和三维空间里有向线段的加法和乘法而得出了他的结果 。 他强调
格拉斯曼把纯数学定义为形式的科学 ， 强调这种观点与那种把数学仅仅视为量的科学的观点之间的差异 。 他的形式科学的基本概念是相等和组合的概念 ， 他分别用=和∩来表示 。 他这样来定义∩的逆运算∪：a∪b是满足a∪b∩b=b∩a的形式 。 扩张论是“几何学的抽象基础” ， 摆脱了空间的概念化和局限于三维的约束 。 一个单个的元素产生一个一维空间；从一个给定的元素通过连续改变得到的一组元素给出了一个二维空间 ， 对应于几何中的直线 。
格拉斯曼着重强调《扩张论》中提出的乘法的不同种类 。 他区分了“内积”“外积”和“组合积” 。 在哈密顿所处理的那个特例中 ， 这些被简化为后者标量积和矢量积 。 格拉斯曼所处理的其他类型的乘法包括“代数积” ， 也就是那些ab=ba的乘积 ， 就像在普通代数中一样 ， 还有“外积” ， 相当于矩阵积 。
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