卓越|19世纪最伟大的发现是纯数学的性质( 四 ) 大学

在汉克尔论述复数系统的著作于1867年出版之后， “扩张论”这个词开始广为传播。汉克尔是黎曼的学生，他试图拿出一本严谨的复数引论。他的作品反映了格拉斯曼的研究，参考了皮考克，第一次用德文介绍了哈密顿的四元数，并提出了“交替数”理论，相当于格拉斯曼的外积。在那些通过汉克尔的作品注意到格拉斯曼的工作的人当中，就有费利克斯·克莱因。 1911年，克莱因写信给恩格尔说：

众所周知，格拉斯曼就他的《扩张论》而言，是个仿射几何学家，而不是射影几何学家。这一点在1871年晚秋对我来说变得很清楚了，并且（加上莫比乌斯和哈密顿的研究以及对我在巴黎得到的所有印象加以发展）导致我构思后来的埃尔朗根纲领。

《扩张论》支持了三维空间里更有限的向量代数的发展。向量代数又是一种乘法交换律并不适用的多重代数。事实上，汉克尔在1867年证明了：正如德·摩根所怀疑的那样，复数代数是在算术基本法则之下可能存在的最一般的代数。
凯莱与西尔维斯特
到19世纪中叶，德国数学家在分析学和几何学领域已经远远领先于其他国家的数学家，领头的是柏林大学和哥廷根大学，出版则集中在《克列尔杂志》。另一方面，代数学一度几乎被英国所垄断，以剑桥三一学院为最前线，《剑桥数学杂志》是主要的出版媒体。皮考克和德·摩根都来自三一学院，凯莱也是如此，他对代数学和几何学都做出了重要贡献，是剑桥数学荣誉学位考试的第二名。我们已经提到了凯莱在解析几何领域所做的工作，尤其是关于行列式的使用，但凯莱还是最早研究矩阵的人之一，这是英国人关注代数学中的形式和结构的又一个实例。这部作品是从1858年一篇论述变换理论的论文发展出来的。例如，如果我们作下面这个变换：

接下来再作另一个变换：

则结果（它更早出现在———比方说———高斯1801年出版的《算术研究》中）相当于下面这个复合变换：

一般而言，颠倒变换的顺序会得到不同的结果。用矩阵的语言表达就是：

但

由于两个矩阵当且仅当所有对应元素相等时才相等，则显然，我们再一次得到了一个非交换乘法的实例。
矩阵乘法的定义正如上面所表示的那样，而（相同维度的）两个矩阵的和被定义为通过把矩阵的对应元素加起来所获得的矩阵。也就是：

让每一个二阶方矩阵在乘法下依然保持不变；因此，它被称作乘法下的单位矩阵。唯一让另一个这样的矩阵在加法下保持不变的矩阵，当然是零矩阵。
它因此是加法下的单位矩阵。有了这些定义，我们可以把矩阵上的运算想象为构成了一种“代数” ，这一步是凯莱和美国数学家本杰明·皮尔斯和他的儿子查尔斯·S.皮尔斯跨出去的。皮尔斯父子在美国扮演的角色，有点类似于哈密顿、格拉斯曼和凯莱在欧洲扮演的角色。对矩阵代数及其他非交换代数的研究，在任何地方都是日益抽象的代数观发展中的主要因素之一，尤其是在20世纪。
凯莱的兴趣是多方面的，而西尔维斯特对代数学的忠诚则是坚定不移的，把他的名字跟所谓的西尔维斯特析配法（从两个多项式方程中消去一个未知量）联系在一起倒是很般配。这个方法很简单，就是用两个方程中的一个或两个乘以要消去的那个未知量，如果必要的话就重复这个过程，直到方程的总数超过未知量的幂。尔后，你可以从这个n+1个方程的集合中消去所有的n次幂，把每个幂想象成一个不同的未知量。因此，要从一对方程x^2+ax+b=0和x^3+cx^2+dx+e=0中消去x ，你可以把第一个方程乘以x ，然后把所得到的结果方程和上述第二个方程分别乘以x 。接下来，把每一个x的4次幂想象为一个单独未知量，则行列式