对结构的关注以及新代数的兴起 ， 尤其是在19世纪下半叶 ， 导致了数和算术中广泛的一般化 。 高斯通过研究形如a+bi的高斯整数 ， 从而扩展了整数的观念 。 戴德金在“代数整数”理论中进行了进一步的一般化———所谓的代数整数 ， 就是满足一个首项系数为1、其余系数为整数的多项式方程的数 。 这样的“整数”系当然不构成一个域 ， 因为缺少乘法下的逆 。 不过它们还是有共同之处 ， 因为它们都满足一个数域的其他条件；因此我们说它们构成了一个“整环” 。 然而 ， 对整数这个词的这种一般化是付出了代价换来的———损失了因子分解的唯一性 。 因此 ， 戴德金采用了一位同时代的数学家恩斯特·爱德华·库默尔（1810~1893）发展出来的观念 ， 把“理想子环”的概念引入到了算术中 。
戴德金对代数学的关注可以追溯到19世纪50年代 ， 当时 ， 他在哥廷根大学听狄利克雷的数论课 ， 并集中研究了伽罗华理论 。 他在那一时期的笔记显示 ， 他在那段时间发展出了对初等群论的抽象处理 。 狄利克雷去世之后 ， 戴德金负责整理出版狄利克雷的数论讲义 。 他在这部作品的附录中 ， 介绍了自己的很多成果 。 其中最有名的是他的理想论 ， 其各种不同的版本可以在先后几版《狄利克雷—戴德金》中加以比较尤其影响了艾米·诺特以及她在20世纪20年代的代数学派 。
戴德金在1897年和1900年还发表了两篇论文 ， 论述他称之为“对偶群”的一种新结构 。 在第一篇论文中 ， 现代读者很容易认出一组关于格的公理 。 第二篇论文致力于自由模格的研究 ， 他在文中证明了 ， 一个格构成了一个部分有序的集合 。 戴德金还利用了链条件 。 在19世纪最后25年里 ， 发表了很多其他的对群的抽象处理 ， 常常是不证自明的公理处理 。 其中有几篇论文得到了戴德金的鼓励 ， 海因里希·韦伯的作品尤其是这样 ， 是戴德金使他对代数学产生了兴趣 。
算术公理
人们常常把数学比作一棵树 ， 因为它是通过地面上一个不断拓宽的延伸和分支结构来生长发展的 ， 与此同时 ， 它的根部也在不断加深和拓宽 ， 以寻找坚实的基础 。 这种双重生长尤其是19世纪分析学发展的典型特征 ， 因为函数理论的迅速拓展伴随着从波尔查诺到魏尔斯特拉斯针对这一课题所进行的严格的算术化 。 在代数学领域 ， 19世纪之所以引人注目 ， 更多的是因为新的发展 ， 而不是对基础的关注 ， 皮考克试图提供一个坚实基础的努力 ， 跟分析学中波尔查诺的精确化比起来 ， 就显得软弱无力了 。 然而 ， 在世纪末的那几年 ， 有过几次为代数学提供更强壮根部的努力 。 复数系从实数的角度进行了定义 ， 后者被解释为有理数的类别 ， 而复数则成了有序的整数对 。 但归根到底 ， 整数究竟是什么呢?人人都认为自己知道 ， 比方说 ， 3这个数是什么———直到人们试图定义或解释它———而整数相等的观念被认为是显而易见的 。 让算术的基本概念（因此也是代数的基本概念）停留在如此含混模糊的状态 ， 无论如何不能令人满意 。
德国逻辑学家和数学家F.L.G.弗雷格得出了他著名的基数定义 。 他的观点的基础来自布尔和康托尔的集合论 。 读者想必还记得 ， 康托尔曾经把两个其元素能建立一一对应关系的无穷集看作是有相同的“势” 。 弗雷格认识到 ， 这一元素对应的观念也是整数相等概念的基础 。 两个无穷集 ， 如果其中一个集合中的元素能够跟另一个集合中的元素建立起一一对应的关系 ， 就可说它们有相同的基数———换句话说 ， 它们是相等的 。 则如果你从一个始集开始 ， 比如正常人手上手指的集合 ， 接下来 ， 把其元素能跟始集的元素建立一一对应的所有集合组成一个更加广泛的集合 ， 那么 ， 所有这种集合所组成的这个集合就构成了一个基数 ， 在本例中 ， 这个基数是5 。 从更一般的意义上讲 ， 弗雷格对一个给定类（不管是有限还是无限）的基数的定义 ， 就是所有与给定类相似的类所组成的那个类（这里 ， “相似”的意思是：这两个类的元素能建立一一对应） 。
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