1.6 负数的引进
《九章算术》“方程术”的消元程序，在方程系数相减时会出现较小数减较大数的情况，正是在这里，《九章算术》的作者们引进了负数，并给出了正、负数的加减运算法则，即“正负术” 。
对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤 。公元7世纪印度数学家也开始使用负数，但负数的认识在欧洲却进展缓慢，甚至到16世纪，韦达的著作还回避负数 。
1.7 无理数的发现
中国古代数学家在开方运算中接触到了无理数 。《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开”，《九章算术》的作者们给这种不尽根数起了一个专门名词——“面” 。“面”，就是无理数 。与古希腊毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线不是有理数时惊慌失措的表现相比，中国古代数学家却是相对自然地接受了那些“开不尽”的无理数，这也许应归功于他们早就习惯使用的十进位制，这种十进位制使他们能够有效地计算“不尽根数”的近似值 。为《九章算术》作注的三国时代数学家刘徽就在“开方术”注中明确提出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法，他称之为“求微数法”，并指出在开方过程中，“其一退以十为步，其再退以百为步，退之弥下，其分弥细，则……虽有所弃之数，不足言之也” 。
十进位值记数制是对人类文明不可磨灭的贡献 。法国大数学家拉普拉斯曾盛赞十进位值制的发明，认为它“使得我们的算术系统在所有有用的创造中成为第一流的” 。中国古代数学家正是在严格遵循十进位制的筹算系统基础上，建立起了富有算法化特色的东方数学大厦 。
1.8 贾宪三角或杨辉三角
从前面关于高次方程数值求解算法(秦九韶程序)的介绍我们可以看到，中国古代开方术是以?c+h n的二项展开为基础的，这就引导了二项系数表的发现 。南宋数学家杨辉著《详解九章算法》(1261年)中，载有一张所谓“开方作法本源图”，实际就是一张二项系数表 。这张图摘自公元1050年左右北宋数学家贾宪的一部著作 。“开方作法本源图”现在就叫“贾宪三角”或“杨辉三角” 。二项系数表在西方则叫“帕斯卡三角”?1654年。
1.9 走向符号代数
解方程的数学活动，必然引起人们对方程表达形式的思考 。在这方面，以解方程擅长的中国古代数学家们很自然也是走在了前列 。在宋元时期的数学著作中，已出现了用特定的汉字作为未知数符号并进而建立方程的系统努力 。这就是以李冶为代表的“天元术”和以朱世杰为代表的“四元术” 。所谓“天元术”，首先是“立天元一为某某”，这相当于“设为某某”，“天元一”就表示未知数，然后在筹算盘上布列“天元式”，即一元方程式 。该方法被推广到多个未知数情形，就是前面提到的朱世杰的“四元术” 。因此，用天元术和四元术列方程的方法，与现代代数中的列方程法已相类似 。
符号化是近世代数的标志之一 。中国宋元数学家在这方面迈出了重要一步，“天元术”和“四元术”，是以创造算法特别是解方程的算法为主线的中国古代数学的一个高峰? 。
2 中国古代数学对世界数学发展的贡献
数学的发展包括了两大主要活动：证明定理和创造算法 。定理证明是希腊人首倡，后构成数学发展中演绎倾向的脊梁；算法创造昌盛于古代和中世纪的中国、印度，形成了数学发展中强烈的算法倾向 。统观数学的历史将会发现，数学的发展并非总是演绎倾向独占鳌头 。在数学史上，算法倾向与演绎倾向总是交替地取得主导地位 。古代巴比伦和埃及式的原始算法时期，被希腊式的演绎几何所接替，而在中世纪，希腊数学衰落下去，算法倾向在中国、印度等东方国度繁荣起来；东方数学在文艺复兴前夕通过阿拉伯传播到欧洲，对近代数学兴起产生了深刻影响 。事实上，作为近代数学诞生标志的解析几何与微积分，从思想方法的渊源看都不能说是演绎倾向而是算法倾向的产物 。
从微积分的历史可以知道，微积分的产生是寻找解决一系列实际问题的普遍算法的结果?6? 。这些问题包括：决定物体的瞬时速度、求极大值与极小值、求曲线的切线、求物体的重心及引力、面积与体积计算等 。从16世纪中开始的100多年间，许多大数学家都致力于获得解决这些问题的特殊算法 。牛顿与莱布尼兹的功绩是在于将这些特殊的算法统一成两类基本运算——微分与积分，并进一步指出了它们的互逆关系 。无论是牛顿的先驱者还是牛顿本人，他们所使用的算法都是不严格的，都没有完整的演绎推导 。牛顿的流数术在逻辑上的瑕疵更是众所周知 。对当时的学者来说，首要的是找到行之有效的算法，而不是算法的证明 。这种倾向一直延续到18世纪 。18世纪的数学家也往往不管微积分基础的困难而大胆前进 。如泰勒公式，欧拉、伯努利甚至19世纪初傅里叶所发现的三角展开等，都是在很长时期内缺乏严格的证明 。正如冯·诺伊曼指出的那样：没有一个数学家会把这一时期的发展看作是异端邪道；这个时期产生的数学成果被公认为第一流的 。并且反过来，如果当时的数学家一定要在有了严密的演绎证明之后才承认新算法的合理性，那就不会有今天的微积分和整个分析大厦了 。
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