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对称矩阵是沿对角线对称的矩阵 。它是一个自伴算子（self-adjoint operator）（把矩阵看作是一个算子并研究其性质确实是一件大事） 。虽然我们不能直接从对称性中读出几何属性 ， 但我们可以从对称矩阵的特征向量中找到最直观的解释 ， 这将使我们对对称矩阵有更深入的了解 。
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常见的例子是单位矩阵 。一个重要的例子是：
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对称矩阵的一个例子然而 ， 虽然定义简单如斯 ， 但却意义非凡 。在这篇文章中 ， 我们将看一看它们的重要属性 ， 直观地解释它们 ， 并介绍其应用 。
厄米特矩阵（The Hermitian matrix）是对称矩阵的复扩展 ， 这意味着在厄米特矩阵中 ， 所有元素都满足：
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厄米特矩阵的共轭转置与自身相同 。因此 ， 它具有对称矩阵所具有的所有性质 。
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厄米特矩阵的一个例子在这篇文章中 ， 我主要讨论的是实数情况 ， 即对称矩阵 ， 以使分析变得简单一些 ， 同时在数据科学中 ， 我们遇到的也大都是实矩阵 ， 因为我们要处理现实世界的问题 。
对称矩阵的最重要的性质本节将介绍对称矩阵的三个最重要的性质 。它们涉及这些矩阵的特征值和特征向量的行为 ， 这是区别对称矩阵和非对称矩阵的基本特征 。
性质1. 对称矩阵有实数特征值
这可以很容易地用代数法证明（正式的、直接的证明 ， 而不是归纳法、矛盾法等） 。首先 ， 快速回顾一下特征值和特征向量 。
矩阵A的特征向量是 ， 在A作用于它之后 ， 方向不变的向量 。方向没有改变 ， 但向量大小可以改变 。实数特征值给我们提供了线性变换中的拉伸或缩放信息 ， 不像复数特征值 ， 它没有 "大小" 。向量被缩放的比例是特征值 ， 我们用λ表示 。因此我们有：
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式1.1证明是相当容易的 ， 但有一些重要的线性代数知识 ， 所以我们还是要一步一步地来 。
1.1通过x的共轭转置x?得到：
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式1.2需要注意的是 ， λ是一个标量 ， 这意味着涉及λ的乘法是可交换的 。因此 ， 我们可以把它移到x?（x的转置 ， 上标H可能不显示）的左边：
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式1.3x?x是一个欧几里得范数（ Euclidean norm） ， 其定义如下：
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公式1.4在二维欧几里得空间中 ， 它是一个坐标为（x_1 ， ... ， x_n）的向量的长度 。然后我们可以把公式1.3写成：
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公式1.5由于共轭转置（算子H）与普通转置（算子T）的原理相同 ， 我们可以利用x?A=（Ax）?的特性 。
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公式1.6(Ax)?等于什么？这里我们将再次使用Ax = λx的关系 ， 但这次(Ax)?将留给λ的复共轭 ， 在λ上加一横表示共轭 。
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式1.7我们在式1.3中见过x?x ， 代欧几里得范数后得到：
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式1.8这导致了λ和它的复共轭相等：
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式1.9只有在一种情况下 ， 式1.9才有效 ， 即λ是实数 。这样一来 ， 我们就完成了证明 。
性质2. 特征值所对应的特征向量是正交的
这个证明也是一个直接的形式证明 ， 但很简单 。首先我们需要清楚目标 ， 即：
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