x上面加一横怎么打符号公式 x上面加一横怎么打( 二 ) _生活百科

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式1.10考虑一个对称矩阵A ， x_1和x_2是A的特征向量，对应于不同的特征向量（我们需要这个条件的原因将在稍后解释）。根据特征值和对称矩阵的定义，我们可以得到以下公式：

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式1.11和式1.12现在我们需要证明式1.10 。让我们试着把x_1和x_2放在一起- 。在左边用 (Ax?)?乘以x??：

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式1.13在式1.13中，除了对称矩阵的特性外，还用到了另外两个事实。
矩阵乘法符合结合律（可以用结合律运算）矩阵-标量乘法是可交换的（可以自由移动标量）。然后，由于点积是可交换的，这意味着x??x?和x??x?是等价的，所以我们有：

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式1.14其中x_1?x_2表示点积。如果λ_1≠λ_ ，那么x_1?x_1=0 ，这意味着这两个特征向量是正交的。如果λ_1 = λ_2 ，则有两个不同的特征向量对应于同一个特征值。由于特征向量在(A-λI)的零空间（表示为N(A-λI)），当一个特征向量对应于多个特征向量时， N(A-λI)的维数大于1 。在这种情况下，我们对这些特征向量有无限多的选择，我们总是可以选择它们是正交的。
显然，有些情况下，实数矩阵有复数特征值。这发生在旋转矩阵上。为什么会这样呢？假设Q是一个旋转矩阵。我们知道，特征向量在被Q作用后不会改变方向。但如果Q是一个旋转矩阵，如果x是一个非零向量， x怎么可能不改变方向呢？结论是，特征向量必须是复数（好好想一想吧）。
二维空间中的旋转矩阵R(θ)如下所示：

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旋转矩阵R(θ)将一个向量逆时针旋转一个角度θ ，它是一个具有复数特征值和特征向量的实矩阵。
性质3. 对称矩阵总是可对角化的（谱定理）
这也与对称矩阵的其他两个特性有关。这个定理的名字可能让人困惑。事实上，一个矩阵的所有特征值的 *** 被称为谱（ spectrum）。另外，我们可以这样想。
特征值-特征向量对告诉我们，在给定的线性变换之后，一个向量在哪个方向上被扭曲。
如下图所示，经过变换后，在v_1的方向上，图形被拉伸了很多，但在v_2的方向上却没有很大的拉伸。

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一个可对角线化的矩阵意味着存在一个对角线矩阵D（对角线以外的所有元素都是零），使得P-1AP=D ，其中P是一个可逆矩阵。我们也可以说，如果一个矩阵可以写成A=PDP-1的形式，那么该矩阵就是可对角的。
分解通常不是唯一的，但只有D中对角线上的元素的排列和P中特征向量的标量乘法才是唯一的。另外我们需要注意的是，无论矩阵是否对称，对角线化都等同于找到特征向量和特征值。然而，对于非对称矩阵， D不一定是正交矩阵。
这两个定义是等价的，但可以有不同的解释（这种分解使得求矩阵的幂非常方便）。第二个定义， A=PDP-1 ，告诉我们A如何被分解，与此同时，之一个定义， P-1AP=D ，是告诉我们A可以被对角化。它告诉我们，有可能将标准基（由单位矩阵给出）与特征向量对齐（align）。这是由特征向量的正交性决定的，这在性质2中显示。
这个 "将标准基与特征向量对齐 "听起来非常抽象。我们需要思考这个问题：矩阵变换对单位基做了什么？
由基α = {v_1 ， … ， v_n}组成的矩阵将一个向量x从标准基变换到由基α构成的坐标系，我们用Aα表示这个矩阵。因此，在对角化的过程中（P-1AP=D）， P将一个向量从标准基送入特征向量， A对其进行缩放，然后P?1将该向量送回标准基。从向量的角度来看，坐标系与标准基对齐。