数学|跨世纪的两位数学巨人—庞加莱与希尔伯特，“之后再无数学家” 数学

文章图片

文章图片

文章图片

你必须警惕的，正是那些最简单的假设。因为这些假设最有可能神不知鬼不觉地蒙混过关。———庞加莱

庞加莱?
越来越多的个人投身于数学的研究和教学，这意味着再也不能挑选出少数几个突出的人物，代表某个时期数学发展的状况，一个人再也找不到一条清晰的路径穿过壮阔而鲜活的数学风景。事实上，当高斯在1855年去世的时候，人们普遍认为，数学领域再也不会有这样的通才了———精通数学的所有分支，无论是纯数学还是应用数学。打那之后，如果说有人证明了这个观点是错的，那么，这个人就是庞加莱，因为他把整个数学作为自己的领域。
庞加莱的博士论文是论述微分方程（不是论述解法，而是论述存在定理），这导致了他对数学的最著名的贡献———自守函数的属性；事实上，他是自守函数理论实际上的创立者。一个复变量为z的自守函数f（z）是一个这样的函数：它在域D内是解析的（除了极点之外），在线性分式变换

的可数无限群下是不变的。这样的函数是三角函数和椭圆函数的一般化。埃尔米特针对有限制的实例研究过这种变换，在这样的实例中，系数a、b、c、d是整数，且ad-bc=1 ，并发现了一类在这些变换下不变的椭圆模函数。庞加莱的一般化揭示了一个更加宽泛的函数类别，被称作泽塔富克斯函数，庞加莱证明，这种函数可以用来解有代数系数的二次线性微分方程。
这只是庞加莱对微分方程理论所做出的很多重要贡献的开始。这一课题就像一根红线一样贯穿了他的大多数作品。庞加莱在一篇他自己的作品的提要中评论道，自微积分创立以来，分析学家面对了三个主要问题：代数方程的解，代数微分的求积，以及微分方程的求积。他注意到，在所有这三种情况下，历史表明，要想取得成功，并不在于试图把它们简化为更简单问题的传统努力，而在正面进攻解的性质。这是解决伽罗华提出的代数问题的关键。在第二种情况下，对代数微分的攻克，几十年来被那些不再试图向基本函数化简、而是利用新的超越函数的人成功实现了。庞加莱确信，类似的方法，对于解微分方程中先前遇到的那些难以对付的问题，将会有所帮助。
这一观点已经出现在他的博士论文中。这篇论文的标题是《论偏微分方程所定义的函数的属性》。他在19世纪80年代初期发表一系列论文中致力于解决这个主要的问题，着手提供解法的定性描述。他首先处理一般方程：

式中f和g都是实多项式。为了处理无穷分支的问题，他把xy平面投射到一个球上。在仔细检查他的方程之后，他特别注意到某些点，在这些点上多项式消失了。利用布里奥和布凯在柯西的基础上所作的分类，即把这样的奇点分为节点、鞍点、焦点和中心点，他得以能够确立解的一般属性，这些解完全取决于某种特殊类型的奇点存在还是不存在。例如，他证实了，类型T（x ， y）=C（T是解析的， C是不变的）的传统解只有当没有节点或焦点的时候才会存在。在四篇论文当中的第三篇论文中，庞加莱把他的分析扩大到了形如F（x ， y ， y'）=0（F是个多项式）的高次方程。他通过考量F（x ， y ， y'）=0所定义的曲面来研究这样的方程。设该曲面的亏格是p ，焦点数是F ，节点数是N ，鞍数是S 。庞加莱证明了：