数学|跨世纪的两位数学巨人—庞加莱与希尔伯特,“之后再无数学家”


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你必须警惕的 , 正是那些最简单的假设 。 因为这些假设最有可能神不知鬼不觉地蒙混过关 。———庞加莱
庞加莱?
越来越多的个人投身于数学的研究和教学 , 这意味着再也不能挑选出少数几个突出的人物 , 代表某个时期数学发展的状况 , 一个人再也找不到一条清晰的路径穿过壮阔而鲜活的数学风景 。 事实上 , 当高斯在1855年去世的时候 , 人们普遍认为 , 数学领域再也不会有这样的通才了———精通数学的所有分支 , 无论是纯数学还是应用数学 。 打那之后 , 如果说有人证明了这个观点是错的 , 那么 , 这个人就是庞加莱 , 因为他把整个数学作为自己的领域 。
庞加莱的博士论文是论述微分方程(不是论述解法 , 而是论述存在定理) , 这导致了他对数学的最著名的贡献———自守函数的属性;事实上 , 他是自守函数理论实际上的创立者 。 一个复变量为z的自守函数f(z)是一个这样的函数:它在域D内是解析的(除了极点之外) , 在线性分式变换

的可数无限群下是不变的 。 这样的函数是三角函数和椭圆函数的一般化 。 埃尔米特针对有限制的实例研究过这种变换 , 在这样的实例中 , 系数a、b、c、d是整数 , 且ad-bc=1 , 并发现了一类在这些变换下不变的椭圆模函数 。 庞加莱的一般化揭示了一个更加宽泛的函数类别 , 被称作泽塔富克斯函数 , 庞加莱证明 , 这种函数可以用来解有代数系数的二次线性微分方程 。
这只是庞加莱对微分方程理论所做出的很多重要贡献的开始 。 这一课题就像一根红线一样贯穿了他的大多数作品 。 庞加莱在一篇他自己的作品的提要中评论道 , 自微积分创立以来 , 分析学家面对了三个主要问题:代数方程的解 , 代数微分的求积 , 以及微分方程的求积 。 他注意到 , 在所有这三种情况下 , 历史表明 , 要想取得成功 , 并不在于试图把它们简化为更简单问题的传统努力 , 而在正面进攻解的性质 。 这是解决伽罗华提出的代数问题的关键 。 在第二种情况下 , 对代数微分的攻克 , 几十年来被那些不再试图向基本函数化简、而是利用新的超越函数的人成功实现了 。 庞加莱确信 , 类似的方法 , 对于解微分方程中先前遇到的那些难以对付的问题 , 将会有所帮助 。
这一观点已经出现在他的博士论文中 。 这篇论文的标题是《论偏微分方程所定义的函数的属性》 。 他在19世纪80年代初期发表一系列论文中致力于解决这个主要的问题 , 着手提供解法的定性描述 。 他首先处理一般方程:

式中f和g都是实多项式 。 为了处理无穷分支的问题 , 他把xy平面投射到一个球上 。 在仔细检查他的方程之后 , 他特别注意到某些点 , 在这些点上多项式消失了 。 利用布里奥和布凯在柯西的基础上所作的分类 , 即把这样的奇点分为节点、鞍点、焦点和中心点 , 他得以能够确立解的一般属性 , 这些解完全取决于某种特殊类型的奇点存在还是不存在 。 例如 , 他证实了 , 类型T(x , y)=C(T是解析的 , C是不变的)的传统解只有当没有节点或焦点的时候才会存在 。 在四篇论文当中的第三篇论文中 , 庞加莱把他的分析扩大到了形如F(x , y , y')=0(F是个多项式)的高次方程 。 他通过考量F(x , y , y')=0所定义的曲面来研究这样的方程 。 设该曲面的亏格是p , 焦点数是F , 节点数是N , 鞍数是S 。 庞加莱证明了:

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